Bài 3 Hạng của ma trận

Cho A là một ma trận. Ma trận có được từ A bằng cách xóa đi một số dòng và một số cột được gọi là ma trận con của A. Định thức của ma trận con cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A.

Hạng của ma trận A là r nếu:

A có một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp s (s > r) đều bằng 0.

Ta thường ký hiệu của ma trận A là R(A)

Ví dụ: Cho ma trận \(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,1\,\,\,\,1\\ 0\,\,\,\,1\,\,\,\,1\\ 0\,\,\,\,0\,\,\,1 \end{array} \right)\). Tìm hạng của A

Vì \(\left| A \right| = 1 \ne 0\) nê R(A)=3

Ví dụ: Cho ma trận \(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,2\,\,\,\,3\\ 4\,\,\,\,5\,\,\,\,6\\ 7\,\,\,\,8\,\,\,9 \end{array} \right)\). Tìm hạng của A

Vì \(\left| A \right| = 0\,và\,\left| \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,2\\ 4\,\,\,\,5 \end{array} \right| = - 3 \ne 0\)nên R(A)=2

Một số hệ quả:

\(\begin{array}{l} R({A_{m\,x\,n}}) \le \,\min \left\{ {m,n} \right\}\\ R(A) = R({A^T})\\ R({A_{n\,x\,n}}) = n \Leftrightarrow \left| {{A_{m\,x\,n}}} \right| \ne 0 \end{array}\)

Xét ma trận A. Ta có:

R(A) = hạng của hệ vectơ dòng của A = hạng của hệ vectơ cột của A.

• Một dòng của ma trận A gọi là dòng tầm thường nếu gồm toàn số 0.
• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải của một dòng không tầm thường được gọi là phần tử dẫn đầu.
• Một dòng không tầm thường gọi là có bậc k nếu phần từ dẫn đầu là phần tử thứ k tính từ trái sang phải.

Ví dụ:  Xét ma trận \(A = \left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,0\\ 0\,\, - 3\,\,\,\,\,0\,\,\,\,2\\ 1\,\,\,\,\,2\,\, - 3\,\,\,\,1\\ 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,0 \end{array} \right)\)

Ta có:

Dòng thứ 1  là dòng không tầm thường bậc 1.

Dòng thứ 2 là dòng không tầm thường bậc 2.

Dòng thứ 3 là dòng không tầm thường bậc 1.

Dòng thứ 4 là dòng tầm thường.

Một ma trận A có dạng bậc thang nếu:

• Các dòng tầm thường (nếu có) ở dưới đáy.
• Các dòng không tầm thường có bậc tăng thực sự.

Ví dụ: \(A = \left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,0\\ 0\,\, - 3\,\,\,\,\,0\,\,\,\,2\\ 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \end{array} \right)\) là một ma trận bậc thang

Một ma trận bậc thang thu gọn là một ma trận bậc thang có thêm các tính chất:

• Các phần tử dẫn đầu (gọi là phần tử trụ) đều là số 1
• Các phần tử ở trên và cùng cột với phần tử trụ đều là số 0.

Ví dụ: \(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,4\\ 0\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,2\,\,\,\,0\,\, - 1\\ 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,1\,\,\,\,\,2 \end{array} \right)\)là một ma trận bậc thang thu gọn

Cho A là một ma trận bậc thang. Khi đó, từ định nghĩa hạng cùa ma trận, ta dễ thấy: R(A) = số dòng không tầm thường của ma trận A

Ví dụ: Xét \(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,4\\ 0\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,4\\ 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \end{array} \right)\). Vì A có dạng bậc thang và có 2 dòng không tầm thường nên R(A)=2.

Các phép biến đổi sau đây trên ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

• Đổi chỗ hai dòng.
• Nhân một dòng với một số khác 0.
• Cộng vào một dòng bởi bội của một dòng khác.

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta có thể đưa một ma trận vê dạng bậc thang hay dạng bậc thang thu gọn.

Ta có thuật toán đưa một ma trận về dạng bậc thang như sau :

• Bước 1: Tìm cột không tầm thường đầu tiên tính từ trái sang phải. Giả sử cột đó là cột j .
• Bước 2: Đổi chỗ các dòng sao cho một phần tử khác 0 của cột j đứng vào dòng 1, nghĩa là \({a_{{\rm{ij}}}} \ne 0\).
• Bước 3 : dùng \({a_{{\rm{ij}}}} \ne 0\) làm phần tử trụ, đưa các số khác 0 cùng cột và đứng dưới \({a_{{\rm{1j}}}}\) về 0 bằng các phép biến đổi sơ cấp \({a_{{\rm{1j}}}} d_i-{a_{{\rm{ij}}}} d_1\) (nhân dòng i với \({a_{{\rm{1j}}}} \) , nhân dòng 1 với \(-{a_{{\rm{ij}}}} \) cộng lại và viết vào dòng i).
• Bước 4 : Lặp lại các bước trên với ma trận con có từ ma trận đầu bằng cách bỏ dòng 1.
• Bước 5 : Lặp lại các bước trên cho đến khi có được dạng bậc thang.

Ví dụ  Đưa ma trận sau đây về dạng bậc thang 

\(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,2\,\,\, - 3\,\,\,0\\ 2\,\,\,4\,\,\, - 2\,\,\,2\\ 3\,\,\,6\,\,\, - 4\,\,\,3 \end{array} \right)\)

Giải

Ta có: 

 dạng bậc thang

Ta có thuật toán đưa một ma trận bậc thang về dạng bậc thang thu gọn như sau:

Cho \(A=({a_{{\rm{ij}}}} )\) là ma trận có dạng bậc thang với các phần tử dẫn đầu lần lươt là \({a_{{\rm{1j_1}}}} ,{a_{{\rm{2j_2}}}},...,{a_{{\rm{rj_r}}}}\) .

Bước 1: Nhân dòng r với \(\frac{1}{{{a_{{\rm{r}}{{\rm{j}}_{\rm{r}}}}}}}\) để có phần tử dẫn đầu của dòng r là 1.

Bước 2 : Dùng phần tử \({a_{{\rm{r}}{{\rm{j}}_{\rm{r}}}}}=1\) như là phần tử trụ, đưa các phần tử cùng cột và ở trên a về số 0 bằng phép biến đôi sơ cấp \(d_i-{a_{{\rm{r}}{{\rm{j}}_{\rm{r}}}}}d_r\).

Bước 3 : Lặp lại các bước trên đối với các dòng r-1, r-2,...,2.

Bước 4 : Nhân dòng 1 với \(\frac{1}{{{a_{{\rm{1}}{{\rm{j}}_{\rm{1}}}}}}}\).

Để đưa về dạng bậc thang thu gọn, ta có thể áp dụng hai thuật toán nêu trên, đưa ma trận về dạng bậc thang rồi đưa về dạng bậc thang thu gọn. Ngoài ra, ta có thể áp dụng thuật toán đưa ma trận về dạng bậc thang có sửa đổi một chút:

Ở bước 3, thay vì chỉ đưa các số khác 0 đứng dưới và cùng cột với phân tử dẫn đầu về số 0, thì ta đưa cả các số khác 0 đứng trên và cùng cột với phần tử dẫn đầu về số 0.

Cuối cùng, khi đã có được dạng bậc thang, ta chia các dòng tầm thường cho phần tử dẫn đầu của chúng để đưa các phần tử dẫn đầu về số 1.

Ví dụ: Đưa ma trận sau đây về dạng bậc thang thu gọn

\(A = \left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,3\\ 1\,\, - 4\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,3\\ 3\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,2 \end{array} \right)\)

Giải

Ta có

 dạng bậc than thu gọn.

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của một ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận..

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận \(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\, - 3\,\,\,\,\,\,0\\ 2\,\,\,\,4\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\,\,2\\ 3\,\,\,\,6\,\,\,\,\, - 4\,\,\,\,\,\,3 \end{array} \right)\)

Ta có: 

Vì R(B) = 2 nên R(A) = 2.

Ứng dụng:

Để kiểm tra tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của một hệ n vectơ, ta có thể sắp các vectơ ấy thành các dòng của một ma trận A, rồi tìm hạng của A. Nếu R(A) = n thì hệ đó là một hệ độc lập tuyến tính, nếu R(A) < n thì hệ đó là một hệ phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ: Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ sau đây: V = {(1,2,0,3), (2,1,-4,0), (-2,0,1,1)}

Giải

Ta lập ma trận

Suy ra: R(A) = 3. Vậy, V độc lập tuyến tính.

Để tìm một cơ sở và số chiều của không gian vectơ con sinh bởi một hệ vectơ, ta lập ma trận A gồm các dòng là các vectơ đó, rồi đưa A về dạng bậc thang. Các dòng không tầm thường của A tạo thành một cơ sở của không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ đó, và số dòng không tâm thường tối đa của A ở dạng bậc thang là số chiều của không gian sinh.

Ví dụ: Tìm một cơ sở và số chiều của không gian \(\left\langle V \right\rangle \) với V = {(1,-2,5,4), (2,-2,1,0), (3,4,0,2)}

Giải: Ta lập ma trận

Suy ra: R(A) = 3, nên \(dim \left\langle V \right\rangle =3\) 

Và một cơ sở của \(\left\langle V \right\rangle \)là {(1;-2;5;4),(0;2;-9;-8).(0;0;1;1)} .