Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước:

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số \(\left\{\begin{matrix} x-2y=1\\ x+y=4 \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn: Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên theo vế ta được 3y=3.

Vậy hệ đã cho tương đương \(\left\{\begin{matrix} 3y=3\\ x+y=4 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} y=1\\ x=3 \end{matrix}\right.\)

Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số \(\left\{\begin{matrix} (x+3)(y-5)=xy\\ (x-2)(y+5)=xy \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn: Ta có \(\left\{\begin{matrix} (x+3)(y-5)=xy\\ (x-2)(y+5)=xy \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} -5x+3y=15\\ 5x-2y=10 \end{matrix}\right.\)

Cộng hai phương trình theo vế ta được \(y=25\), Thế vào một trong hai phương trình của hệ tìm được \(x=12\).

Bài 3: Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:

\(P(x) = (3m - 5n +18)x + (4m - n -10)\).

Hướng dẫn: \(P(x)=0<=>\left\{\begin{matrix} 3m - 5n +18 = 0 \\ 4m - n -10=0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 3m-5n=-18\\ 20m-5n=50 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 17m=68\\ 3m-5n=-18 \end{matrix}\right.\)\(<=>\left\{\begin{matrix} m=4\\ 3.4-5.n=-18 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} m=4\\ n=6 \end{matrix}\right.\)

Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số  \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}-\frac{x}{y+12}=1\\ \frac{x}{y-12}-\frac{x}{y}=2 \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn: ĐKXĐ: \(y \neq 0, y \neq 12, y \neq -12\)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}-\frac{x}{y+12}=1\\ \frac{x}{y-12}-\frac{x}{y}=2 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 12x=y(y+12)\\ 12x=2y(y-12) \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 12x=y^2+12y\\ 2y(y-12)-y(y+12)=0 \end{matrix}\right.\)\(<=>\left\{\begin{matrix} 12x=y^2+12y\\ y^2-36y=0 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 12x=36^2+12.36\\ y=36 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x=144\\ y=36 \end{matrix}\right.\)

Bài 2: Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} \left | x \right |+x+y=25 (1)\\ \left | y \right |+x-y=30 (2) \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn: Xét \(x <0\), hệ trở thành \(\left\{\begin{matrix} -x+x+y=25\\ \left | y \right |+x-y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} y=25\\ x=30 \end{matrix}\right.\)  (loại vì \(x <0\))

Xét \(y\geq 0\), hệ trở thành \(\left\{\begin{matrix} \left |x \right |+x+y=25\\ y+x-y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 30+30+y=25\\ x=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} y=-35\\ x=30 \end{matrix}\right.\)  (loại vì \(y\geq 0\))

Xét \(x \geq 0, y<0\), hệ trở thành \(\left\{\begin{matrix} 2x+y=25\\ x-2y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 4x+2y=50\\ x-2y=30 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x-2y=30\\ 5x=80 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 16-2y=30\\ x=16 \end{matrix}\right.\)\(<=>\left\{\begin{matrix} y=-7\\ x=16 \end{matrix}\right.\)

Qua bài giảng Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững quy tắc cộng đại số để giải hệ phươngq trình bậc nhất hai ẩn

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tìm nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+y=2\\ x-y=2 \end{matrix}\right.\)

   

  • A. (2;0)
  • B. (1;0)
  • C. (0;2)
  • D. (1;1)

• Câu 2:

  Tìm số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+2y=3\\ 2x+4y=0 \end{matrix}\right.\)

   

  • A. 1
  • B. 0
  • C. 2
  • D. vô số

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2

Bài tập 20 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 21 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 22 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 23 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 24 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 25 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 26 trang 19 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 27 trang 20 SGK Toán 9 Tập 2

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.