Bài tập SGK Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Bài tập 1 trang 121 SGK Giải tích 12

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) \(y = x^2, y = x + 2\);   

b) \(y = |lnx|, y = 1\);

c) \(y = (x - 6)^2, y = 6x- x^2\)

Bài tập 2 trang 121 SGK Giải tích 12

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x² +1, tiếp tuyến với đường thẳng này tại điểm M(2;5) và trục Oy.

Bài tập 3 trang 121 SGK Giải tích 12

Parabol \(y=\frac{x^{2}}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2 \sqrt {2}\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Bài tập 4 trang 121 SGK Giải tích 12

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

a) \(\small y = 1 - x^2 , y = 0\) ;

b) \(\small y = cosx, y = 0, x = 0, x = \pi\) ;

c)  \(\small y = tanx, y = 0, x = 0,x=\frac{\pi }{4}\) ;

Bài tập 5 trang 121 SGK Giải tích 12

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt  \(\widehat{POA}=\alpha\) và \(OM=R, \left ( 0\leq \alpha \leq \frac{\pi }{3}, R>0 \right )\).

Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh Ox (H.63).

a) Tính thể tích của V theo α và R.      

b) Tìm \(\small \alpha\) sao cho thể tích V là lớn nhất.  

Bài tập 3.31 trang 178 SBT Toán 12

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) \(y = 2x - {x^2},x + y = 2\);

b) \(y = {x^3} - 12x,y = {x^2}\);

c) \(x + y = 1,x + y =  - 1,x - y = 1,x - y =  - 1\);

d) \(y = \frac{1}{{1 + {x^2}}},y = \frac{1}{2}\);

e) \(y = {x^3} - 1\) và tiếp tuyến với \(y = {x^3} - 1\) tại điểm (-1;-2).

Bài tập 26 trang 167 SGK Toán 12 NC

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và \(x = \frac{{7\pi }}{6}\) 

Bài tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số y = cos²x trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π
b) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}\)
c) Đồ thị hàm số y = 2x² và y = x⁴ −2x² trong miền x ≥ 0 .

Bài tập 28 trang 167 SGK Toán 12 NC

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số y = x² − 4, y = −x² − 2x và đường thẳng x = −3, x = −2
b) Đồ thị hai hàm số y = x² và y = −x² − 2x
c) Đồ thị hàm số y = x³ − 4x, trục hoành, đường thẳng x = - 2 và đường thẳng x = 4

Bài tập 29 trang 172 SGK Toán 12 NC

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \) 

Bài tập 30 trang 172 SGK Toán 12 NC

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ π) là một tam giác đều cạnh \(2\sqrt {{\rm{sinx}}} \)

Bài tập 31 trang 172 SGK Toán 12 NC

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0$, \mathrm{x }= 4$, và \(y = \sqrt x  - 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành