Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

• Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .\)

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}\)

Thể tích vật thể B giới hạn bởi  hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm \(a,b\) là \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx}.\) Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là \(x \in \left[ {a;\,b} \right]\) và S(x) là một hàm liên tục.

• Hàm số  \(y=f(x)\) liên tục và không âm trên \([a,b].\) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .\) 

• Cho hai hàm số  \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) thỏa \(0\leq g(x)\leq f(x)\), liên tục và không âm trên \([a,b].\) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}.\)
• Cho hai hàm số hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\)​ quay quanh trục hoành hoành tạo nên một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn xoay ta thực hiện các bước:
  • Giải phương trình \(f(x) = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a\\ x = b \end{array} \right.\) (Thường dạng bài này đề bài cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt).
  • Giải sử \(0\leq g(x)\leq f(x)\) với mọi x thuộc \([a,b].\) Khi đó: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}.\)
• Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g(y)\), trục tung và hai đường thẳng \(y = c,\,y = d\) quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_c^d {{g^2}(y)dy}.\)

Tính diện tích tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {x^3},\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 2.\)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong \(y = {x^3}\) và trục hoành: 

Diện tích hình phẳng cần tính:

\(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^3}} \right|dx + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - {x^3}} \right)} dx + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} }\) \(= \left. { - \frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = \frac{{17}}{4}\)

Ví dụ 2: 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y=(1+e^x)x.\)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:\(\left( {e + 1} \right)x = \left( {1 + {e^x}} \right)x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {{e^x} = e} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\) 

Nhận xét, với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì hiệu số \(\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x = x\left( {{e^x} - e} \right) > 0.\) 

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} - e} \right)} \right|dx = \int\limits_0^1 {x\left( {{e^x} - e} \right)} dx}\) 

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = \left( {e - {e^x}} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = ex - {e^x}} \end{array}} \right.} \right.\)

\({ \Rightarrow S = x\left( {ex - {e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {\left( {ex - {e^x}} \right)dx} }\) \(= \left( { - \frac{{e{x^2}}}{2} + {e^x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{{e - 2}}{2}.\)

Ví dụ 3: 

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=3\) , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le 3} \right)\) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng \(x\) và \(2\sqrt {9 - {x^2}}.\)

Lời giải:

Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là \(x;2\sqrt {9 - {x^2}}\) là \(2x\sqrt {9 - {x^2}}\) 

Khi đó, thể tích của vật thể được xác định bằng công thức \(V = \int\limits_0^3 {2x\sqrt {9 - {x^2}} dx}\) 

Đặt \(t = \sqrt {9 - {x^2}} \Leftrightarrow {t^2} = 9 - {x^2} \Leftrightarrow xdx = - tdt\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow t = 3}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 0} \end{array}} \right.\) 

Suy ra \(V = - 2\int\limits_3^0 {{t^2}dt} = \frac{{2{t^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right. = 18.\) 

Ví dụ 4:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và \(y = x\) quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và đường thẳng \(y=x\) là \(2x - {x^2} = x \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\) 

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tìm là \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2} - {x^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right|dx}\)

\(\Rightarrow V = \left| {\pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} } \right| = \pi \left| {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + {x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.} \right| = \frac{\pi }{5}.\)

Trong quá trình học tập môn Toán trong chương trình phổ thông, các em đã khá quen thuộc với các phương pháp tính diện tích và thể tích của một đối tượng bằng cách xác định các yếu tố liên quan đến đối tượng như độ dài cạnh, số đo góc,....Sau khi tìm hiểu khái niệm Tích phân các em sẽ được tiếp cận một phương pháp mới để tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối tròn xoay chỉ thông qua các hàm số là Ứng dụng tích phân.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho đồ thị hàm số y = f(x). Xác định công thức tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình.

  

  • A. \(S = \int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right)dx}\)
  • B.  \(S = \int\limits_0^{ - 2} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}\)
  • C.  \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^0 {f\left( x \right)dx}\)
  • D. \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}\)

• Câu 2:

  Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 1\).

  • A.  \(S = \frac{7}{3}\)
  • B.  \(S = \frac{8}{5}\)
  • C.  \(S = \frac{{38}}{{15}}\)
  • D.  \(S = \frac{{64}}{{25}}\)

• Câu 3:

  Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x.\)

  • A.  \(S = \frac{1}{{16}}\)
  • B.  \(S = \frac{1}{{12}}\)
  • C.  \(S = \frac{1}{{8}}\)
  • D.  \(S = \frac{1}{{4}}\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 40 trang 175 SGK Toán 12 NC

Bài tập 3.32 trang 178 SBT Toán 12 NC

Bài tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12

Bài tập 3.34 trang 178 SBT Toán 12

Bài tập 3.35 trang 178 SBT Toán 12

Bài tập 3.36 trang 179 SBT Toán 12

Bài tập 3.37 trang 179 SBT Toán 12

Bài tập 3.38 trang 179 SBT Toán 12

Bài tập 3.39 trang 180 SBT Toán 12

Bài tập 3.40 trang 180 SBT Toán 12

Bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12

Bài tập 3.42 trang 480 SBT Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.