Số trung bình cộng, số trung vị, mốt là các khái niệm quen thuộc mà các em đã được học ở Toán lớp 7. Ở chương trình THPT sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em các công thức để tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt của các bảng phân bố tần số, tần suất.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Số trung bình cộng (hay số trung bình)
* Trường hợp bảng phân bố tần số
Số trung bình cộng là:
\(\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}) = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + ... + {f_k}{x_k}\)
trong đó: ni, fi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi, n = n1 + n2 + … + nk.
* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
Số trung bình cộng là:
\(\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}) = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + ... + {f_k}{c_k}\)
với ci, ni, fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê (n = n1 + n2 + … + nk).
1.2. Số trung vị
Khái niệm: Khi các số liệu thống kê có sự chênh lệch lớn thì số trung bình cộng không đại diện được cho các số liệu đó. Khi đó ta chọn số đặc trưng khác đại diện thích hợp hơn, đó là số trung vị
Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm ( hoặc không tăng). Số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu Me là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn.
* Lưu ý cách tìm số trung vị:
+ Phải sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm ( hoặc không tăng).
+ Nếu n lẻ thì Me là số đứng chính giữa dãy ( số hạng thứ \(\frac{{n + 1}}{2}\)).
+ Nếu n chẵn thì Me là trung bình cộng của 2 số đứng giữa dãy (số hạng thứ \(\frac{n}{2}\) và số hạng thứ \(\frac{n}{2} + 1\)).
1.3. Mốt
Định nghĩa: Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là Mo.
Nhận xét: Một mẫu số liệu có thể có một hay nhiều mốt.
Bài tập minh họa
Ví dụ 1: Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:
| Điểm | 7,5 | 7,8 | 8,0 | 8,4 | 9,0 | 9,5 |
|
| Tần số | 1 | 2 | 3 | 2 | 2 | 1 | n = 11 |
| Tần suất (%) | 9,09 | 18,18 | 27,27 | 18,18 | 18,18 | 9,09 | 100 (%) |
Hãy tính điểm trung bình của học sinh? (không được áp dụng công
thức \(\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k})\)
Hướng dẫn:
Điểm trung bình của học sinh là:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\bar x = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + {f_3}{x_3} + {f_4}{x_4} + {f_5}{x_5} + {f_6}{x_6}}\\
{ = \frac{{9,09}}{{100}}.7,5 + \frac{{18,18}}{{100}}.7,8 + \frac{{27,27}}{{100}}.8,0 + \frac{{18,18}}{{100}}.8,4 + \frac{{18,18}}{{100}}.9,0 + \frac{{9,09}}{{100}}.9,5}\\
{ \approx 8,3}
\end{array}\)
Ví dụ 2: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau
Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)
| Lớp nhiệt độ (0C) | Tần số | Tần suẩt |
| [12;14) [14;16) [16;18) [18;20) [20;22) | 1 3 12 9 5 | 3,33 10,00 40,00 30,00 16,67 |
| Cộng | 30 | 100 (%) |
Tính số trung bình cộng của bảng trên
Hướng dẫn:
Tính các giá trị đại diện ci với ci là trung bình cộng của hai mút của lớp i:
c1=13; c2=15; c3=17; c4=19; c5=21
Số trung bình cộng là:
Cách 1: Sử dụng bảng phân bố tần số ghép lớp
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k})}\\
{ = \frac{1}{{30}}\left( {1.13 + 3.15 + 12.17 + 9.19 + 5.21} \right)}\\
{ \approx 17,93}
\end{array}\)
Cách 2: Sử dụng bảng phân bố tần suất ghép lớp
\(\begin{array}{l}
\overline x = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + {f_3}{c_3} + {f_4}{c_4}\\
= \frac{{3,33}}{{100}}.13 + \frac{{10,00}}{{100}}.15 + \frac{{40,00}}{{100}}.17 + \frac{{30,00}}{{100}}.19 + \frac{{16,67}}{{100}}.21\\
\approx 17,94
\end{array}\)
Ví dụ 3:
a) Một nhóm 7 học sinh tham gia một kì thi có số điểm như sau (thang điểm 100): 0, 0, 65, 69, 80, 89, 90. Tìm số trung vị?
b) Điểm thi học kì I môn toán của 6 HS là: 5, 3, 9, 7, 2, 9. Tìm số trung vị?
Hướng dẫn:
a) Vì n = 7 lẻ nên ta có Me = 69
b) Vì n = 6 chẵn nên ta có \({M_e} = \frac{{9 + 7}}{2} = 8\)
Ví dụ 4: Tìm mốt trong ví dụ 1
Hướng dẫn:
Trong bảng ở ví dụ 1 thì giá trị có tần số lớn nhất là 8,0, do đó ta có
MO=8,0
3. Luyện tập Bài 3 chương 5 đại số 10
Trong phạm vi bài học Chúng tôi giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Số trung bình, số trung vị, mốt kèm các bài tập giải có lời giải chi tiết giúp các em luyện tập tốt hơn
3.1 Trắc nghiệm về số trung bình cộng, số trung vị, mốt
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. 41,6 kg
- B. 42,8 kg
- C. 41,8 kg
- D. Đáp số khác
-
- A. 32
- B. 36
- C. 38
- D. 40
-
- A. 5
- B. 10
- C. 2
- D. 6
Câu 7- Câu 18: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online
3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về số trung bình cộng, số trung vị, mốt
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 122 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 122 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 123 SGK Đại số 10
Bài tập 4 trang 123 SGK Đại số 10
Bài tập 5 trang 123 SGK Đại số 10
Bài tập 5.10 trang 157 SBT Toán 10
Bài tập 5.11 trang 158 SBT Toán 10
Bài tập 5.12 trang 158 SBT Toán 10
Bài tập 5.13 trang 158 SBT Toán 10
Bài tập 5.14 trang 159 SBT Toán 10
4. Hỏi đáp về bài 3 chương 5 đại số 10
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.
