Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax +by = c, trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

Ví dụ: Phương trình 3x - 2y = 6

a) Định nghĩa

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\
{a_2}x + {b_2}y = {c_2}
\end{array} \right.\,\,(a_1^2 + b_1^2 \ne 0,\,\,a_2^2 + b_2^2 \ne 0)\)

b) Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Tính các định thức: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\),   \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{b_1}}\\{{c_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\),  \({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right|\).

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:  phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

DẠNG TOÁN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, dùng định thức.

Ví dụ 1:

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 4y = 3\\7x - 9y = 8\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x - 4y = 8\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 4}\\7&{ - 9}\end{array}} \right| =  - 17\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\8&{ - 9}\end{array}} \right| = 5,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\7&8\end{array}} \right| = 19\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( { - \frac{5}{{17}}; - \frac{{19}}{{17}}} \right)\)

b) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\5&{ - 4}\end{array}} \right| =  - 13\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\\8&{ - 4}\end{array}} \right| =  - 52,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{11}\\5&8\end{array}} \right| =  - 39\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {4;3} \right)\)

Ví dụ 2:

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)y - 5) = xy\\(x - 2)(y + 5) = xy\end{array} \right.\)                   

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - y} \right| = \sqrt 2 \\2x - y =  - 1\end{array} \right.\)                     

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3(x + y)}}{{x - y}} =  - 7\\\frac{{5x - y}}{{y - x}} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}xy - 5x + 3y - 15 = xy\\xy + 5x - 2y - 10 = xy\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5x + 3y = 15}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\\{y = 25}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {12;25} \right)\)

b) Hệ phương trình tương đương với\(\left\{ \begin{array}{l}x - y =  \pm \sqrt 2 \\2x - y =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \sqrt 2 \\2x - y =  - 1\end{array} \right.\) (1) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - y =  - \sqrt 2 \\2x - y =  - 1\end{array} \right.\) (2)

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - \sqrt 2 \\2x - y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 - \sqrt 2 }\\{y =  - 1 - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 2 \\2x - y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 - \sqrt 2 }\\{y =  - 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\)  là  \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 + 2\sqrt 2 } \right)\)

c) ĐKXĐ: \(x \ne y\)

Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}3(x + y) =  - 7\left( {x - y} \right)\\3\left( {5x - y} \right) = 5\left( {y - x} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x - 4y = 0}\\{20x - 8y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) (không thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương pháp giải:

Sử dụng định thức: Tính \(D,\,{D_x},\,{D_y}\)

\( \bullet \) Nếu \(D \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)

\( \bullet \) Nếu \(D = 0\) thì ta xét \({D_x},\,{D_y}\)

Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{D_x} \ne 0}\\{{D_y} \ne 0}\end{array}} \right.\) khi đó phương trình vô nghiệm

Với \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trình là tập nghiệm của một trong hai phương trình có trong hệ.

Ví dụ:

Giải và biện luận hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\4&{ - m}\end{array}} \right| = 4 - {m^2} = \left( {2 - m} \right)\left( {2 + m} \right)\)

\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ - 1}\\{m + 6}&{ - m}\end{array}} \right| =  - 2{m^2} + m + 6 = \left( {2 - m} \right)\left( {2m + 3} \right)\)
\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\4&{m + 6}\end{array}} \right| = {m^2} - 2m = m\left( {m - 2} \right)\)

• Với \({\rm{D}} \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 2}\\{m \ne  - 2}\end{array}} \right.\): Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; - \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)
• Với \({\rm{D = }}0 \Leftrightarrow m =  \pm 2\):

 + Khi \(m = 2\) ta có \({\rm{D}} = {D_x} = {D_y} = 0\) nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình \(2x - y = 4 \Leftrightarrow y = 2x - 4\). Do đó hệ phương trình có nghiệm là  \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\).

+ Khi \(m =  - 2\) ta có \(D = 0,\,{D_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm

Kết luận

\(m \ne 2\) và \(m \ne  - 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; - \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)

\(m = 2\)hệ phương trình có nghiệm là  \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\).

\(m =  - 2\) hệ phương trình vô nghiệm

Trong phạm vi bài học Chúng tôi giới thiệu đến các em cách giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 3 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 6- Câu 14: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 3 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 38 trang 97 SGK Toán 10 NC

Bài tập 39 trang 97 SGK Toán 10 NC

Bài tập 40 trang 97 SGK Toán 10 NC

Bài tập 41 trang 97 SGK Toán 10 NC

Bài tập 42 trang 97 SGK Toán 10 NC

Bài tập 43 trang 97 SGK Toán 10 NC

Bài tập 44 trang 97 SGK Toán 10 NC

Bài tập 45 trang 100 SGK Toán 10 NC

Bài tập 46 trang 100 SGK Toán 10 NC

Bài tập 47 trang 100 SGK Toán 10 NC

Bài tập 48 trang 100 SGK Toán 10 NC

Bài tập 49 trang 100 SGK Toán 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.