Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Cách giải và biện luận phương trình dạng \(ax + b = 0\) được tóm tắt trong bảng sau

\(ax + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Hệ số		Kết luận
\(a \ne 0\)		\(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x =  - \frac{b}{a}\)
\(a = 0\)	\(b \ne 0\)	\(\left( 1 \right)\) vô nghiệm
	\(b = 0\)	\(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\)

Khi \(a \ne 0\) phương trình \(ax + b = 0\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau

\(a{x^2} + bx + c = 0{\rm{  }}\left( {a \ne 0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
\(\Delta  = {b^2} - 4ac\)	Kết luận
\(\Delta  > 0\)	\(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,\,\,2}} = \frac{{ - \,b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}\)
\(\Delta  = 0\)	\(\left( 2 \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)
\(\Delta  < 0\)	\(\left( 2 \right)\) vô nghiệm

Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì

\({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\)

Ngược lại, nếu hai số \(u\) và \(v\) có tổng \(u + v = S\) và tích \(uv = P\) thì \(u\) và \(v\) là các nghiệm của phương trình

\({x^2} - Sx + P = 0.\)

DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải

• Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:

          – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

          – Bình phương hai vế.

          – Đặt ẩn phụ.             

• Phương trình dạng \(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|\) ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau

\(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) =  - g(x)\end{array} \right.\)  hoặc \(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow {f^2}(x) = {g^2}(x)\)

• Đối với phương trình dạng \(\left| {f(x)} \right| = g(x)\)(*) ta có thể biến đổi tương đương như sau

\(\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\{f^2}(x) = {g^2}(x)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) =  - g(x)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Hoặc \(\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(x) = g(x)}\\{f(x) \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - f(x) = g(x)}\\{f(x) < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

 

Ví dụ:

Giải các phương trình sau:

a) \(\left| {2x + 1} \right| = \left| {{x^2} - 3x - 4} \right|\).                                                  

b) \(\left| {3x - 2} \right| = 3 - 2x\)

c) \(\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 4x - 17\)                                                                                    

d) \(\left| {2x - 5} \right| + \left| {2{x^2} - 7x + 5} \right| = 0\)

Lời giải:

a) Phương trình \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 = {x^2} - 3x - 4}\\{2x + 1 =  - \left( {{x^2} - 3x - 4} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 5x - 5 = 0}\\{{x^2} - x - 3 = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}}\\{x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}\) và \(\frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}\).

b) Cách 1: Với \(3 - 2x < 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\)  ta có \(VT \ge 0,\,\,VP < 0\) suy ra phương trình vô nghiệm

Với \(3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}\) khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra

Phương trình \( \Leftrightarrow {\left| {3x - 2} \right|^2} = {\left( {3 - 2x} \right)^2} \Leftrightarrow 9{x^2} - 12x + 4 = 4{x^2} - 12x + 9\)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} = 5 \Leftrightarrow x =  \pm 1\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  \pm 1\) .

Cách 2: Với \(3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}\) : Phương trình tương đương với

\(3{\rm{x}} - 2 = 3 - 2{\rm{x}} \Leftrightarrow 5{\rm{x}} = 5 \Leftrightarrow x = 1\) (thỏa mãn)

Với  \(3x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{2}{3}\): Phương trình tương đương với

\( - \left( {3{\rm{x}} - 2} \right) = 3 - 2{\rm{x}} \Leftrightarrow {\rm{x}} =  - 1\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  \pm 1\) .

c) Với \(4x - 17 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{{17}}{4}\)  ta có \(VT \ge 0,\,\,VP < 0\) suy ra phương trình vô nghiệm

Với \(4x - 17 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{{17}}{4}\) khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra

Phương trình \( \Leftrightarrow {\left| {{x^2} - 4x - 5} \right|^2} = {\left( {4x - 17} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)^2} = {\left( {4x - 17} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 8x + 12} \right)\left( {{x^2} - 22} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 8x + 12 = 0}\\{{x^2} - 22 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 6}\end{array}} \right.}\\{x =  \pm \sqrt {22} }\end{array}} \right.\)

Đối chiếu với điều kiện \(x \ge \frac{{17}}{4}\) thấy chỉ có \(x = 6\) và \(x = \sqrt {22} \) thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 6\) và \(x = \sqrt {22} \).

d) Ta có \(\left| {2x - 5} \right| \ge 0,\,\,\left| {2{x^2} - 7x + 5} \right| \ge 0\) suy ra

\(\left| {2x - 5} \right| + \left| {2{x^2} - 7x + 5} \right| \ge 0\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 5 = 0}\\{2{x^2} - 7x + 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{5}{2}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\) .

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{5}{2}\) .

 

DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường

- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)

- Đặt ẩn phụ

 

Ví dụ: 

Tìm số nghiệm của các phương trình sau

a) \(\frac{{2x + 1}}{{3x + 2}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)      

b) \(1 + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} - \frac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}\).          

c) \(\frac{{x + 3}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{4x - 2}}{{{{(2x - 1)}^2}}}\).                                                                              

d) \(\frac{{x + 1}}{{x + 2}} + \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)                                             

Lời giải:

a) ĐKXĐ: \(x \ne  - \frac{2}{3}\)  và \(x \ne 2\) .

Phương trình tương đương với \(\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + x - 2 = 3{x^2} + 2x + 3x + 2\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 4 \pm 2\sqrt 3 \) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - 4 \pm 2\sqrt 3 \).

b) ĐKXĐ: \(x \ne  - 3\)  và \(x \ne 2\) .

Phương trình tương đương với \(\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) = 10\left( {2 - x} \right) - 50\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.\)

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \(x = 10\) .

c) ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\)  và \(x \ne \frac{1}{2}\) .

Phương trình tương đương với

\(\frac{{x + 3}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{2}{{2x - 1}} \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) = 2{\left( {x + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow x = 5\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\) .

d) ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 2\) và \(x \ne  - 1\)

Phương trình tương đương với

\({\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 2{x^2} - 4x + x - 2 + {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = 2{x^3} - 8x + {x^2} - 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x =  - 4}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - 4\) và \(x = 0\)

 

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

• \(\sqrt {f(x)}  = \sqrt {g(x)}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) \ge 0\,\,(hoac\,\,g(x) \ge 0)\end{array} \right.\)
• \(\sqrt {f(x)}  = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = {\left[ {g(x)} \right]^2}\\g(x) \ge 0\end{array} \right.\)

 

Ví dụ:

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {2x - 3}  = x - 2.\)   (1)

b) \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x} \)

Hướng dẫn:

a) Điều kiện của phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(x \ge \frac{3}{2}.\)

Bình phương hai vế của phương trình \(\left( 1 \right)\) ta đưa tới phương trình hệ quả:

\(\begin{array}{c}\left( 1 \right) \Rightarrow 2x - 3 = {x^2} - 4x + 4\\ \Rightarrow {x^2} - 6x + 7 = 0.\end{array}\)

Phương trình cuối có hai nghiệm là \(x = 3 + \sqrt 2 \) và \(x = 3 - \sqrt 2 .\) Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình \(\left( 1 \right),\) nhưng khi thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\) thì giá trị \(x = 3 - \sqrt 2 \) bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị \(x = 3 + \sqrt 2 \) là nghiệm (hai vế cùng bằng \(\sqrt 2  + 1\)).

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(x = 3 + \sqrt 2 .\)

b) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 4 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 2\)

Với điều kiện đó phương trình tương đương với:

\({x^3} + 2x + 4 = 2 - x \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là \(x =  - 1\) và \(x =  - 2.\)

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 3 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tập nghiệm \(S\) của phương trình \(2x + \frac{3}{{x - 1}} = \frac{{3x}}{{x - 1}}\) là:

  • A. \(S = \left\{ {1;\frac{3}{2}} \right\}.\)
  • B. \(S = \left\{ 1 \right\}.\)
  • C. \(S = \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}.\)
  • D. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

• Câu 2:

  Phương trình \(\frac{{2{x^2} - 10x}}{{{x^2} - 5x}} = x - 3\) có bao nhiêu nghiệm?

  • A. \(0.\)
  • B. \(1.\)
  • C. \(2.\)
  • D. \(3.\)

• Câu 3:

  Tập nghiệm \(S\) của phương trình \(\frac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x - 1}}{{x + 1}} = 1\) trong trường hợp \(m \ne 0\) là:

  • A. \(S = \left\{ {\frac{{m + 1}}{{{m^2}}}} \right\}.\)  
  • B. \(S = \emptyset .\)
  • C. \(S = \mathbb{R}.\)        
  • D. \(S = \left\{ {\frac{2}{{{m^2}}}} \right\}.\)

• Câu 4:

  Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\frac{{{x^2} + mx + 2}}{{{x^2} - 1}} = 1\) vô nghiệm?

  • A. \(0.\)
  • B. \(1.\)
  • C. \(2.\)
  • D. \(3.\)

• Câu 5:

  Tập nghiệm \(S\) của phương trình \(\left| {3x - 2} \right| = 3 - 2x\) là:

  • A. \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}.\)
  • B. \(S = \left\{ { - 1} \right\}.\)
  • C. \(S = \left\{ 1 \right\}.\)
  • D. \(S = \)\(\left\{ 0 \right\}.\)

Câu 6- Câu 16: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 3 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 10 trang 78 SGK Toán 10 NC

Bài tập 11 trang 79 SGK Toán 10 NC

Bài tập 12 trang 80 SGK Toán 10 NC

Bài tập 13 trang 80 SGK Toán 10 NC

Bài tập 14 trang 80 SGK Toán 10 NC

Bài tập 15 trang 80 SGK Toán 10 NC

Bài tập 16 trang 80 SGK Toán 10 NC

Bài tập 17 trang 80 SGK Toán 10 NC

Bài tập 18 trang 80 SGK Toán 10 NC

Bài tập 19 trang 80 SGK Toán 10 NC

Bài tập 20 trang 81 SGK Toán 10 NC

Bài tập 21 trang 81 SGK Toán 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.