Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)

                  \( = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau

• Gồm có \(n + 1\) số hạng
• Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
• Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
• Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n - k}\)
• Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

VD: Số hạng thứ nhất \({T_1} = {T_{0 + 1}} = C_n^0{a^n}\), số hạng thứ k: \({T_{(k - 1) + 1}} = C_n^{k - 1}{a^{n - k + 1}}{b^{k - 1}}\)

Ta có : \({(1 + x)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + ... + {x^n}C_n^n\)

Từ khai triển này ta có các kết quả sau:

• \(C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\)
• \(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0\)

Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}\) với \(x > 0\)      (\(p,q\) là các hằng số khác nhau).

Phương pháp giải:

Ta có:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {a{x^p}} \right)}^{n - k}}{{\left( {b{x^q}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}{x^{np - pk + qk}}} \)

Số hạng chứa \({x^m}\) ứng với giá trị \(k\) thỏa: \(np - pk + qk = m\).

Từ đó tìm \(k = \frac{{m - np}}{{p - q}}\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) là: \(C_n^k{a^{n - k}}.{b^k}\) với giá trị \(k\) đã tìm được ở trên.

 Nếu \(k\) không nguyên hoặc \(k > n\) thì trong khai triển không chứa \({x^m}\), hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển

\(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}\) được viết dưới dạng \({a_0} + {a_1}x + ... + {a_{2n}}{x^{2n}}\).

Ta làm như sau:

• Viết \(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{{\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)}^k}} \);
• Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng \({\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k}\) thành một đa thức theo luỹ thừa của x.
• Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của \({x^m}\).

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

• Tính hệ số \({a_k}\) theo \(k\) và \(n\);
• Giải bất phương trình \({a_{k - 1}} \le {a_k}\) với ẩn số \(k\);
• Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Ví dụ 1:

Tìm hệ số x¹⁶ trong khai triền ( x²-2x )¹⁰.

Hướng dẫn giải: 

Ta có: \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^{10}} = \,{\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^2})} ^{10 - k}}{\left. { - 2x} \right)^k}\)

\(= \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - 2k}}{x^k}} {\left. { - 2} \right)^k} = \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - k}}} {\left. { - 2} \right)^k}\)

Ta chọn: 20 - k= 16 \(\Leftrightarrow \,k = 4\)

=> Hệ số x¹⁶ trong khai triển là \(C_{10}^4 = 3360\)

Ví dụ 2:

Biết hệ số của x² trong khai triển của (1-3x)ⁿ là 90. Tìm n.

Hướng dẫn giải: 

Với số thực \(x \ne 0\) và với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:

\({(1 - 3x)^n} = \,{[1 - (3x)]^n} = \,\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {(1)^{n - k}}{( - 3)^k}{x^k}\)

Suy ra hệ số của x² trong khai triển này là \({3^2}C_n^2\). Theo giả thiết, ta có:

\({3^2}C_n^2\) = 90 => \(C_n^2\, = 10\)

Từ đó ta có: \(\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 10\, \Leftrightarrow \,n(n - 1)\, = \,20\)

\(\Leftrightarrow \,{n^2}\, - \,n = \,20\, \Leftrightarrow \,n = \, - 4\) ( loại) hoặc n= 5

Đáp số: n= 5

Ví dụ 3:

Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(f(x) = {\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{12}}{\rm{    (}}x \ne 0).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(f(x) = {(x - 2.{x^{ - 1}})^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 - k}}.{{( - 2{x^{ - 1}})}^k}} \)

                       \(\sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( - 2)}^k}{x^{12 - 2k}}} \)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với giá trị \(k\) thỏa mãn: \(12 - 2k = 0\)

\( \Leftrightarrow k = 6 \Rightarrow \) số hạng không chứa \(x\) là: \(C_{12}^6{.2^6} = 59136\).

Ví dụ 4:

Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển sau: \(f(x) = {(3{x^2} + 2x + 1)^{10}}\).

Hướng dẫn giải:

\(f\left( x \right) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k - i}}.{(3{x^2})^i} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k - i}}{.3^i}{x^{k + i}}\)

với\(0 \le i \le k \le 10\).

Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\).

Vậy hệ số chứa \({x^4}\): \({2^4}C_{10}^4.C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3.C_3^1 + {3^2}C_{10}^2.C_2^2 = 8085\).

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm Nhị thức Niu-tơn cùng các dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 2 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển biểu thức \(f(x) = {(1 - 2x)^{10}}\)

  • A. \(15360\)
  • B. \( - 15360\)
  • C. \( - 15363\)
  • D. \(15363\)

• Câu 2:

  Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(g(x) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}}} \right)^{17}}{\rm{     }}(x > 0)\)

  • A. 213012
  • B. 12373
  • C. 24310
  • D. 139412

• Câu 3:

  Viết số hạng thứ \(k + 1\) trong khai triển \(f(x) = {\left( {2x + \frac{1}{x}} \right)^{20}}.\)

  • A. \({T_{k + 1}} = C_{20}^k{.2^{20 - k}}.{x^{20 - k}}\)
  • B. \({T_{k + 1}} = C_{10}^k{.2^{20 - k}}.{x^{20 - 2k}}\)
  • C. \({T_{k + 1}} = C_{20}^k{.2^{20 - 4k}}.{x^{20 - 2k}}\)
  • D. \({T_{k + 1}} = C_{20}^k{.2^{20 - k}}.{x^{20 - 2k}}\)

• Câu 4:

  Tìm hệ số không chứa \(x\) trong các khai triển sau \({({x^3} - \frac{2}{x})^n}\), biết rằng \(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78\) với \(x > 0\)

  • A. \(112640\)
  • B. \( - 112643\)
  • C. \(112643\)
  • D. \( - 112640\)

• Câu 5:

  Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển đa thức của: \(x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}\)

  • A. 3320
  • B. 2130
  • C. 3210
  • D. 1313

• Câu 6:

  Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai ?

  • A. \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)
  • B. \(C_n^k = C_n^{n - k}\)
  • C. \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k\)
  • D. Khai triển  có \({\left( {a + b} \right)^n}\) số hạng.

• Câu 7:

  Gọi \(S = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\). Giá trị của S là bao nhiêu ?

  • A. 0
  • B. \(n^2\)
  • C. \(2^n\)
  • D. \(n^n\)

Câu 8- Câu 21: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 2.36 trang 79 SBT Toán 11

Bài tập 2.37 trang 79 SBT Toán 11

Bài tập 2.38 trang 79 SBT Toán 11

Bài tập 2.39 trang 79 SBT Toán 11

Bài tập 17 trang 67 SGK Toán 11 NC

Bài tập 18 trang 67 SGK Toán 11 NC

Bài tập 19 trang 67 SGK Toán 11 NC

Bài tập 20 trang 67 SGK Toán 11 NC

Bài tập 21 trang 67 SGK Toán 11 NC

Bài tập 22 trang 67 SGK Toán 11 NC

Bài tập 23 trang 67 SGK Toán 11 NC

Bài tập 24 trang 67 SGK Toán 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.