Tích một vecto với một số và các dạng toán có liên quan

1. Định nghĩa	Cho vectơ \(\vec{a}\) và số k \(\in\) R. \(k\vec{a}\) là một vectơ được xác định như sau:      + \(k\vec{a}\) cùng hướng với \(\vec{a}\) nếu k \(\ge\) 0,      + \(k\vec{a}\) ngược hướng với \(\vec{a}\) nếu \(k < 0\) .      + \(\left| k\vec{a} \right|=\left| k \right|.\left| {\vec{a}} \right|\).
2. Tính chất	\(k\left( \vec{a}+\vec{b} \right)=k\vec{a}+k\vec{b}\);                                                                \((k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}\);                     \(k\left( l\vec{a} \right)=(kl)\vec{a}\) \(k\vec{a}=\vec{0}\) ⇔ k = 0 hoặc \(\vec{a}=\vec{0}\).
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương	\(\vec{a}\,\,va\,\,\vec{b}\,\,\left( \vec{a}\ne \vec{0} \right)\,cùng\,\,phương\,\Leftrightarrow \exists k\in R:\vec{b}=k\vec{a}\)
4. Điều kiện ba điểm thẳng hàng	A, B, C thẳng hàng ⇔ \(\exists \) k \(\ne\) 0: \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\).
5. Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương	Cho hai vectơ không cùng phương \(\vec{a},\,\vec{b}\) và \(\vec{x}\) tuỳ ý. Khi đó \(\exists \)! m, n \(\in\) R: \(\vec{x}=m\vec{a}+n\vec{b}\).
6. Chú ý	Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M là trung điểm AB ⇔ \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}\)                                ⇔ \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}\) (O tuỳ ý). Hệ thức trọng tâm tam giác: G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\)                                                ⇔ \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}\) (O tuỳ ý).

Phương pháp: Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng:

– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.

– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.

– Tính chất của các hình.

Ví dụ 1: Cho \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}\) và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho: \(\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{a};\,\,\,\overrightarrow{ON}=-4\overrightarrow{a}\) 

Hướng dẫn giải:

 Vẽ d đi qua O và // với giá của \(\overrightarrow{a}\) (nếu O Î giá của \(\overrightarrow{a}\) thì d là giá của \(\overrightarrow{a}\))

- Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| \(\overrightarrow{a}\)|, \(\overrightarrow{OM}\)và \(\overrightarrow{a}\) cùng hướng khi đó \(\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{a}\).

- Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|\(\overrightarrow{a}\)|, \(\overrightarrow{ON}\) và \(\overrightarrow{a}\) ngược hướng nên \(\overrightarrow{ON}=-4\overrightarrow{a}\)

Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=\(\frac{1}{5}\)AB. Tìm k trong các đẳng thức sau:

\(a)\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB};\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{AB}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow |k|=\frac{|\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{5}\), vì \(\overrightarrow{AM}\uparrow \uparrow \overrightarrow{AB}\)Þ k=\(\frac{1}{5}\)

b) k= -\(\frac{1}{4}\)            

c) k= -\(\frac{1}{5}\)

Ví dụ 3:

a) Chứng minh:vectơ đối của \(5\overrightarrow{a}\)  là \(\left( -5 \right)\overrightarrow{a}\)

b) Tìm vectơ đối của các véctơ \(2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(-5\overrightarrow{a}=\left( -1 \right)\left( 5\overrightarrow{a} \right)=\left( \left( -1 \right).5 \right)\overrightarrow{a}=\left( -5 \right)\overrightarrow{a}\)

b) \(-\left( 2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} \right)=\left( -1 \right)\left( 2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} \right)=\left( -1 \right)2\overrightarrow{a}+\left( -1 \right)3\overrightarrow{b}=\left( -2 \right)\overrightarrow{a}+\left( -3 \right)\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\)

Dạng 2: Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AE};\,\,\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AF}\). Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow{AI},\,\overrightarrow{AG},\,\overrightarrow{DE},\,\overrightarrow{DC}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})=\frac{1}{2}\overrightarrow{u}+\frac{1}{2}\overrightarrow{v})\)

            \(\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{u}+\frac{2}{3}\overrightarrow{v}\)

            \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{FA}=-\overrightarrow{AF}=0.\overrightarrow{u}+(-1)\overrightarrow{v}\)

            \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\)

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB,}\,\,\,\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

mà \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)

⇒ \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{2}{3}\overrightarrow{v}\)

Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

+ A, B, C thẳng hàng ⇔ \(\overrightarrow{AB}\)cùng phương \(\overrightarrow{AC}\)⇔\(\exists \). 0≠k \(\in\) \(\mathbb{R}\) : \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\)

+ Nếu \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}\) và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao \(AK=\frac{1}{3}AC\) . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Ta có

\(\begin{array}{l} 2\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \\ 4\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \,\,\,(1) \end{array}\)

Ta lại có

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {BK} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \,\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \\ 3\overrightarrow {BK} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}\)

Từ (1) & (2) ⇒ \(3\overrightarrow{BK}=4\overrightarrow{BI}\Rightarrow \overrightarrow{BK}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BI}\)Þ B, I, K thẳng hàng.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:

\(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NA}-3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\). Chứng minh MN//AC

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {NA} - 3\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ hay\,\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MN} - 3\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AC} \end{array}\)

\(\overrightarrow{MN}//\overrightarrow{AC}\). Theo giả thiết\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AM}\)

Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành

⇒ M không thuộc AC ⇒ MN//AC

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số

Ví dụ 8: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và\(CD\). Chứng minh: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} VP = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \\ \,\,\,\,\,\,\, = \,2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NC} \\ \,\,\,\,\,\, = 2\overrightarrow {MN} \end{array}\)

Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: \(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AC}\).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)

⇒ VT=\(\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{VP}\)(đpcm)

Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì \(3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\).

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} VP = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \\ \,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} \\ \,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} \\ \,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {GG'} - (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} \\ \,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {GG'} \end{array}\)

Dạng 5: Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ

+ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow A\equiv B\)

+ Cho điểm A và \(\overrightarrow{a}\). Có duy nhất M sao cho : \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}\)

+ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow B\equiv C;\,\,\,\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}\Leftrightarrow A\equiv B\)

Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết \(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GD}\).

Hướng dẫn giải:

\(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GD}\) ⇒ A,G, D thẳng hàng.

AG=2GD và G nằm giữa A và D.

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.

Ví dụ 12: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).

Hướng dẫn giải:

\(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}\Rightarrow \left| \overrightarrow{IA} \right|=\left| -2\overrightarrow{IB} \right|\)

hay IA=2IB, \(\overrightarrow{IA}\uparrow \downarrow \overrightarrow{IB}\). Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=\(\frac{1}{3}\)AB

Ví dụ 13: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}\), trong đó I là trung điểm AB

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GK} \\ hay\,\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {GK} = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Tương tự \(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GK}\), K là trung điểm CD

⇒ G là trung điểm IK

Câu 1. Chọn phát biểu sai?

A. Ba điểm phân biệt \(A,\text{ }B,\text{ }C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\text{ }=k\overrightarrow{BC}\text{ , }k\ne 0\).

B. Ba điểm phân biệt \(A,\text{ }B,\text{ }C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AC}\text{ }=k\overrightarrow{BC}\text{ , }k\ne 0\).

C. Ba điểm phân biệt \(A,\text{ }B,\text{ }C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\text{ }=k\overrightarrow{AC}\text{ , }k\ne 0\).

D. Ba điểm phân biệt \(A,\text{ }B,\text{ }C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\text{ = }k\overrightarrow{AC}\).

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có ba điểm phân biệt \(A,\text{ }B,\text{ }C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\exists \text{ }k\in \mathbb{R},k\ne 0\)sao cho \(\overrightarrow{AB}\text{ = }k\overrightarrow{AC}\).

Câu 2. Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?

A. \(-3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) và \(-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}\).   

B. \(-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) và \(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\).

C. \(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) và \(-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\).     

D. \(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\).

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có \(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=-\left( -\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)\) nênchọn Đáp ánC.

Câu 3. Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?

A. \(\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\).    

B. \(\overrightarrow{u}=\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-\frac{3}{5}\overrightarrow{b}\).

C. \(\overrightarrow{u}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-9\overrightarrow{b}\).          

D. \(\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-\frac{3}{2}\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{v}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}\).

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có\(\overrightarrow{v}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}=-\frac{1}{6}\left( 2\overrightarrow{a}-\frac{3}{2}\overrightarrow{b} \right)=-\frac{1}{6}\overrightarrow{u}\).

Hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là cùng phương.

Câu 4. Cho \(\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}\,\,\) không cùng phương, \(\overrightarrow{\,x\,}=-2\,\overrightarrow{\,a\,\,}+\overrightarrow{\,b\,}\). Vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow{\,x\,\,}\)là:

A. \(2\,\overrightarrow{\,a\,\,}-\overrightarrow{\,b\,}\).                        

B. \(-\,\overrightarrow{\,a\,\,}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\,b\,}\).              

C. \(4\,\overrightarrow{\,a\,\,}+2\overrightarrow{\,b\,}\).                          

D. \(-\,\overrightarrow{\,a\,\,}+\overrightarrow{\,b\,}\).

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có \(-\,\overrightarrow{\,a\,\,}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\,b\,}=\frac{1}{2}\left( -2\,\overrightarrow{\,a\,\,}+\overrightarrow{\,b\,} \right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{\,x\,}\). Chọn B.

Câu 5. Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?

A. \(-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)và\(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\). 

B. \(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)và\(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\).

D. \(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\sqrt{2}\overrightarrow{b}\)và \(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\).

D. \(-3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)và\(-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+100\overrightarrow{b}\).

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có \(-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right)\) nên chọn A.

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Tích một vecto với một số và các dạng toán có liên quan. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ

• Tích một vecto với một số và các dạng toán có liên quan

Chúc các em học tập tốt!