Lý thuyết và bài tập về tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ

Định nghĩa: Phép cộng hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là vectơ \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\), được xác định tùy theo vị trí của hai vectơ. Có 3 trường hợp.

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) nối đuôi	\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) cùng điểm gốc	\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) là hai vectơ bất kỳ
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) cộng theo Quy tắc 3 điểm	\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) cộng theo Quy tắc hình bình hành	\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) được cộng theo 2 trường hợp trên

- Quy tắc ba điểm:  Với ba điểm bất kỳ \(A,\,B,\,C\) ta có \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\)

- Quy tắc hình bình hành: Cho  là hình bình hành khi đó ta có \(\left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \\ \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DG} \end{array} \right.\) và \(\left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \\ \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \end{array} \right.\).

Tính chất:

- Giao hoán: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)

- Kết hợp: \(\overrightarrow{a}+\left( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)=\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c} \right)+\overrightarrow{b}\)

- Cộng với vectơ đối: \(\overrightarrow{a}+\left( -\overrightarrow{a} \right)=\overrightarrow{0}\)

- Cộng với vectơ không: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\)

Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}.\) 

B. \(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NP}.\)

C. \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}.\)

D. \(\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{AB}.\)

Lời giải

Chọn B.

Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{BC}\) (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy A sai.

Đáp án B. Ta có \(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NP}\). Vậy B đúng.

Đáp án C. Ta có \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}=-\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB} \right)=-\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{CB}\) (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy C sai.

Đáp án D. Ta có \(\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\ne \overrightarrow{AB}\). Vậy D sai.

Ví dụ 2: Cho ba điểm phân biệt \(A,\ B,\ C\). Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}.\)       

B. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}.\)

C. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}.\)       

D. \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}.\)

Lời giải.

Chọn C.

Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}\). Vậy A sai.

Đáp án B. Ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{BC}\) (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy B sai.

Đáp án C. Ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\). Vậy C đúng.

Ví dụ 3. Tính tổng \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}\).

A. \(\overrightarrow{MR}.\)              

B. \(\overrightarrow{MN}.\)        

C. \(\overrightarrow{PR}.\)   

D. \(\overrightarrow{MP}.\)

Lời giải.

Chọn A.

Ta có \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{MN}\)

Ví dụ 4. Cho lục giác đều\(ABCDEF\) và O là tâm của nó. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}=0.\)  

B. \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AD}.\) 

C. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{EB}.\)      

D. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}=0.\)

Lời giải.

Chọn C.

Ta có \(OABC\) là hình bình hành.

\(\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OB}.\)

O là trung điểm của \(EB\Rightarrow \overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{OB}.\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{OB}.\)

NHẬN BIẾT

Câu 1. Cho hình bình hành \({ABCD}\),với giao điểm hai đường chéo là I. Khi đó:

A. \({\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{BI}}\).   

B. \({\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}}\).     

C. \({\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}}\).                                       

D.\({\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}}\).

Câu 2. Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác \({ABC}\), với M là trung điểm của \({BC}\).

A. \(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{GC}\).  

B. \({\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0}}\).      

C. \({\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}}\). 

D. \({\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}}\).

Câu 3. Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn \({AB}\).

A. \({OA=OB}\).            

B. \({\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}}\).           

C. \({\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}}\).                           

D. \({\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}}\).

Câu 4. Cho 4 điểm \({A,B,C,D}\). Đẳng thức nào sau đây đúng.

A. \({\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}}\).

B. \({\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}}\).

C. \({\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}}\).

D. \({\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}}\).

Câu 5. Chọn khẳng định đúng :

A. Nếu G là trọng tâm tam giác \({ABC}\) thì \({\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0}}\).

B. Nếu G là trọng tâm tam giác \({ABC}\) thì \({\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}}\).

C. Nếu G là trọng tâm tam giác \({ABC}\) thì \({\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}}\).

D. Nếu G là trọng tâm tam giác \({ABC}\) thì \({\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0}\).

Câu 6. Chọn khẳng định sai

A. Nếu \({I}\) là trung điểm đoạn \({AB}\) thì \({\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}}\).

B. Nếu \({I}\) là trung điểm đoạn \({AB}\) thì \({\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}}\).

C. Nếu \({I}\) là trung điểm đoạn \({AB}\) thì \({\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}}\).

D. Nếu \({I}\) là trung điểm đoạn \({AB}\) thì \({\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}}\).

Câu 7. Cho các điểm phân biệt \({A,B,C}\). Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A. \({\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}}\).

B. \({\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}}\).     

C. \({\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}}\).

D. \({\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}}\).

Câu 8. Cho hình bình hành \({ABCD}\) tâm O. Khi đó \({\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=}\)

A.\({\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}}\).                   

B. \({\overrightarrow{AB}}\).                                       

C. \({\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}}\).                           

D. \({\overrightarrow{CD}}\).

Câu 9. Cho tam giác ABC, trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng?

A. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\left| \overrightarrow{AC} \right|\).     

B. \(\left| \overrightarrow{GA} \right|+\left| \overrightarrow{GB} \right|+\left| \overrightarrow{GC} \right|=0\).

C. \(\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right|=\overrightarrow{AC}\).     

D. \(\left| \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right|=0\).

Câu 10. Cho các điểm phân biệt \(A,B,C\). Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}\).   

B. \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}\).        

C. \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\).   

D. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về hiệu của hai vectơ

• Tích một vecto với một số và các dạng toán có liên quan

Chúc các em học tập tốt!