Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập (trang 154)

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(\left| {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}} \right| = 2\)

b) \(\left| {\frac{{3x + 4}}{{x - 2}}} \right| \le 3\)

c) \(\left| {\frac{{2x - 3}}{{x - 3}}} \right| \ge 1\)

d) \(\left| {2x + 3} \right| = \left| {4 - 3x} \right|\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện: \(x \ne  - 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left| {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}} = 2\\
\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}} =  - 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2 = 2x + 2\\
{x^2} - 2 =  - 2x - 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 4 = 0\\
{x^2} + 2x = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \pm \sqrt 5 \\
x = 0\\
x =  - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {1 \pm \sqrt 5 ;0;2} \right\}\)

Câu b:

Điều kiện: \(x \ne 2\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left| {\frac{{3x + 4}}{{x - 2}}} \right| \le 3 \Leftrightarrow \left| {3x + 4} \right| \le 3\left| {x - 2} \right|\\
 \Leftrightarrow {\left( {3x + 4} \right)^2} - 9{\left( {x - 2} \right)^2} \le 0\\
 \Leftrightarrow 10\left( {6x - 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right]\)

Câu c:

Điều kiện: \(x \ne 3\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left| {\frac{{2x - 3}}{{x - 3}}} \right| \ge 1 \Leftrightarrow \left| {2x - 3} \right| \ge \left| {x - 3} \right|\\
 \Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\\
 \Leftrightarrow x\left( {3x - 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le 0\\
x \ge 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {2;3} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)

Câu d:

Ta có \(\left| {2x + 3} \right| = \left| {4 - 3x} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + 3 = 4 - 3x\\
2x + 3 = 3x - 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{5}\\
x = 7
\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{1}{5};7} \right\}\)

---

Giải các bất phương trình sau:

a) |x² – 5x + 4| ≤ x² + 6x + 5

b) 4x² + 4x - |2x + 1| ≥ 5

Hướng dẫn giải:

Câu a:

|x² – 5x + 4| ≤ x² + 6x + 5

⇔ - x² – 6x – 5 ≤  x² – 5x + 4 ≤ x² + 6x + 5

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + x + 9 \ge 0\\
11x \ge  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge  - \frac{1}{{11}}\)

Vậy \(S = \left[ { - \frac{1}{{11}}; + \infty } \right)\)

Câu b:

Ta có: 4x² + 4x - |2x + 1| ≥ 5

⇔ |2x + 1| ≤ 4x² + 4x – 5

⇔ - 4x² – 4x + 5 ≤ 2x + 1 ≤ 4x² + 4x – 5

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} + 6x - 4 \ge 0\\
4{x^2} + 2x - 6 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - 2\\
x \ge \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - \frac{3}{2}\\
x \ge 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le  - 2\\
x \ge 1
\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

---

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {5{x^2} - 6x - 4}  = 2\left( {x - 1} \right)\)

b) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 12}  = {x^2} + 3x\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {5{x^2} - 6x - 4}  = 2\left( {x - 1} \right)\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
5{x^2} - 6x - 4 = 4{\left( {x - 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
{x^2} + 2x - 8 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2
\end{array}\)

Vậy S = {2}

Câu b:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3x + 12} \,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {x^2} + 3x = {t^2} - 12\), ta có phương trình:

\(t = {t^2} - 12 \Leftrightarrow {t^2} - t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 4\,\,\,(n)\\
t =  - 3\,\,\,(l)
\end{array} \right.\)ư

Với \(t = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 12}  = 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - 4
\end{array} \right.\)

Vậy S = {4;1}

---

Giải các bất phương trình

a) \(\sqrt {{x^2} + 6x + 8}  \le 2x + 3\)

b) \(\frac{{2x - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\)

c) \(6\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 32} \right)}  \le {x^2} - 34x + 48\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + 6x + 8}  \le 2x + 3\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 6x + 8 \ge 0\\
2x + 3 \ge 0\\
{x^2} + 6x + 8 \le {\left( {2x + 3} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - 4\\
x \ge  - 2
\end{array} \right.\\
x \ge  - \frac{3}{2}\\
3{x^2} + 6x + 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - \frac{3}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{3}\\
x \ge \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ {\frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}; + \infty } \right)\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{2x - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x - 10 > 0\\
2x - 4 > 0\\
{x^2} - 3x - 10 < {\left( {2x - 4} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x <  - 2\\
x > 5
\end{array} \right.\\
x > 2\\
3{x^2} - 13x + 26 > 0\left( {\forall x} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5
\end{array}\)

Vậy \(S = \left( {5; + \infty } \right)\)

Câu c:

Đặt \(y = \sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 32} \right)}  = \sqrt {{x^2} - 34x + 48} ,y \ge 0\)

⇒ x2 – 34x = y2 – 64

Ta có bất phương trình:

6y ≤ y²  - 16 ⇔ y2 – 6y – 16 ≥ 0 ⇔ y ≤ - 2 hoặc y ≥ 8

Kết hợp với điều kiện y ≥ 0, ta có:

y ≥ 8 ⇔  x² – 34x + 64 ≥ 64 ⇔  x² – 34x ≥ 0

⇔  x ≤ 0 hoặc x ≥ 34

Vậy \(S = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {34; + \infty } \right)\)

---

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\sqrt {{x^2} - x - 12}  \ge x - 1\)

b) \(\sqrt {{x^2} - 4x - 12}  > 2x + 3\)

c) \(\frac{{\sqrt {x + 5} }}{{1 - x}} < 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} - x - 12}  \ge x - 1\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 < 0\\
{x^2} - x - 12 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \ge 0\\
{x^2} - x - 12 \ge {\left( {x - 1} \right)^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - 3\\
x \ge 4
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \ge 13
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le  - 3\\
x \ge 13
\end{array} \right.
\end{array}\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} - 4x - 12}  > 2x + 3\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3 < 0\\
{x^2} - 4x - 12 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3 \ge 0\\
{x^2} - 4x - 12 > {\left( {2x + 3} \right)^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x <  - \frac{3}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - 2\\
x \ge 6
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{3}{2}\\
3{x^2} + 16x + 21 < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le  - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{3}{2}\\
 - 3 < x <  - \frac{7}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le  - 2
\end{array}\)

Câu c:

Ta có \(\frac{{\sqrt {x + 5} }}{{1 - x}} < 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
1 - x > 0\\
\sqrt {x + 5}  < 1 - x
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( I \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
1 - x < 0\\
\sqrt {x + 5}  > 1 - x
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {II} \right)
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 1\\
x + 5 \ge 0\\
x + 5 < {\left( {1 - x} \right)^2}\\
 - 5 \le x < 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 1\\
x \ge  - 5\\
{x^2} - 3x - 4 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 1\\
x \ge  - 5\\
{x^2} - 3x - 4 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 5 \le x < 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x <  - 1\\
x > 4
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 5 \le x < 1
\end{array}\)

\(\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
1 - x < 0\\
x + 5 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
1 - x \ge 0\\
x + 5 > {\left( {1 - x} \right)^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
1 - x < 0\\
x + 5 \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)

Vậy \(S = \left[ { - 5; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

---

Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:

x⁴ + (1 - 2m)x² + m² – 1 = 0

a) Vô nghiệm

b) Có hai nghiệm phân biệt

c) Có bốn nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải:

Đặt y = x² ; y ≥ 0, ta được phương trình:

y² + (1 – 2m)y + m² – 1 = 0   (1)

Câu a:

Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ (1) vô nghiệm hoặc (1) chỉ có nghiệm âm

• Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  = {\left( {1 - 2m} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = 5 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{5}{4}\) 
• Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\Delta  \ge 0}\\
  {P > 0}\\
  {S < 0}
  \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5 - 4m \ge 0\\
{m^2} - 1 > 0\\
2m - 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - 1\)

Vậy phương trình đã cho với \(\left[ \begin{array}{l}
m <  - 1\\
m > \frac{5}{4}
\end{array} \right.\)

Câu b:

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.

• TH1: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

P = m²  - 1 < 0 hay - 1 < m < 1

• TH2: Nếu Δ = 0 hoặc \(m = \frac{5}{4}\) thì phương trình (1) có một nghiệm kép dương \(m = \frac{3}{4}\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(x \in \left( { - 1;1} \right) \cup \left\{ {\frac{5}{4}} \right\}\)

Câu c:

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, tức là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  > 0\\
P < 0\\
S > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5 - 4m > 0\\
{m^2} - 1 > 0\\
2m - 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < \frac{5}{4}\)

---

Tìm các giá trị của a sao cho phương trình:

(a-1)x⁴ - ax² + a² – 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

Đặt y = x², ta có phương trình:

(a – 1)y² – ay + a² – 1 = 0 (1)

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0.

Phương trình (1) có nghiệm y = 0 khi và chỉ khi a² – 1 = 0 hay a = ± 1

• Với a = 1, phương trình (1) trở thành \(– y = 0 \Leftrightarrow y= 0\).
• Với a = - 1, phương trình (1) trở thành: - 2y² + y = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
  y = 0\\
  y = \frac{1}{2}
  \end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a = - 1. 

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Luyện tập (trang 154) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.