Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập (trang 146)

Tìm các giá trị m để các phương trình có nghiệm:

x² + (m - 2)x - 2m + 3 = 0

Hướng dẫn giải:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

Δ = (m – 2)² – 4(-2m + 3) ≥ 0 ⇔ m² + 4m – 8 ≥ 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \le  - 2 - 2\sqrt 3 \\
m \ge  - 2 + 2\sqrt 3 
\end{array} \right.\)

---

Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kỳ giá trị nào.

a) x² - 2(m + 1)x + 2m² + m + 3 = 0

b) (m² + 1)x² + 2(m + 2)x + 6 = 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

Δ’ = (m + 1)² – (2m² + m  + 3) = - m² + m – 2 < 0, ∀m

(do a = -1 < 0 và Δ_m = - 7 < 0)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm với mọi m.

Câu b:

Ta có:

Δ’ = (m + 2)² – 6(m² + 1) = - 5m² + 4m – 2 < 0, ∀m

(vì a = - 5 < 0 và Δ’_m = - 6 < 0)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm với mọi m.

---

Tìm m để bất phương trình sau:

(m – 1)² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R

Hướng dẫn giải:

• Với m = 1, ta có: - 4x – 3 > 0

Suy ra bất phương trình không nghiệm đúng với mọi x ∈ R

• Với m ≠ 1, ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) > 0,\forall x \in R\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta ' < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 1 > 0\\
{\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
 - 2{m^2} + 11m - 5 < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
\left[ \begin{array}{l}
m < \frac{1}{2}\\
m > 5
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 5
\end{array}\)

Vậy với m > 5 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ R

---

Giải các bất phương trình:

a) \(\frac{{{x^4} - {x^2}}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\)

b) \(\frac{1}{{{x^2} - 5x + 4}} < \frac{1}{{{x^2} - 7x + 10}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\frac{{{x^4} - {x^2}}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\)

Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left[ { - 1;1} \right]\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{x^2} - 5x + 4}} < \frac{1}{{{x^2} - 7x + 10}}\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{{{x^2} - 5x + 4}} - \frac{1}{{{x^2} - 7x + 10}} < 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{ - 2x + 6}}{{\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\left( {{x^2} - 7x + 10} \right)}} < 0
\end{array}\)

Bảng xét dấu 

Vậy \(S = \left( {1;2} \right) \cup \left( {3;4} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\)

---

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {\left( {2x + 5} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \)

b) \(y = \sqrt {\frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}}} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Hàm số đã cho xác định 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {2x + 5} \right)\left( {1 - 2x} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow  - 4{x^2} - 8x + 5 \ge 0\\
 \Leftrightarrow  - \frac{5}{2} \le x \le \frac{1}{2}
\end{array}\)

Vậy tập xác định là \(D = \left[ { - \frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right]\)

Câu b:

Hàm số đã cho xác định

 \(\begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne  - 1\\
\frac{{x + 4}}{{2x + 1}} \ge 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne  - 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le  - 4\\
x >  - \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le  - 4\\
x >  - \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy tập xác định là \(D = \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

---

Giải các hệ bất phương trình:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
4x - 3 < 3x + 4\\
{x^2} - 7x + 10 \le 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 9x - 7 > 0\\
{x^2} + x - 6 \le 0
\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 9 < 0\\
\left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 7x + 4} \right) \ge 0
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
4x - 3 < 3x + 4\\
{x^2} - 7x + 10 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 7\\
2 \le x \le 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 5\)

Vậy S = [2;5]

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 9x - 7 > 0\\
{x^2} + x - 6 \le 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x < \frac{{ - 9 - \sqrt {137} }}{4}\\
x > \frac{{ - 9 + \sqrt {137} }}{4}
\end{array} \right.\\
 - 3 \le x \le 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \frac{{ - 9 + \sqrt {137} }}{4} < x \le 2
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm là \(S = \left( {\frac{{ - 9 + \sqrt {137} }}{4};2} \right]\)

Câu c:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 9 < 0\\
\left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 7x + 4} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 3 < x < 3\\
\left[ \begin{array}{l}
 - \frac{4}{3} \le x \le  - 1\\
x \ge 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - \frac{4}{3} \le x \le  - 1\\
1 \le x < 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ { - \frac{4}{3}; - 1} \right] \cup \left[ {1;3} \right)\)

---

Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có:

\( - 1 \le \frac{{{x^2} + 5x + a}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7\)

Hướng dẫn giải:

Vì 2x² – 3x + 3 > 0 ∀x ∈ R (do a = 3 > 0; Δ = -15 < 0) nên ta có:

\(\begin{array}{l}
 - 1 \le \frac{{{x^2} + 5x + a}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7\\
 \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a < 7\left( {2{x^2} - 3x + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0\\
13{x^2} - 26x - a + 14 > 0
\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)
\end{array}\)

Hệ (I) đúng với mọi x

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _1}' = 1 - 3\left( {a + 2} \right) \le 0\\
{\Delta _2}' = 169 - 13\left( {14 - a} \right) < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a \ge  - 5\\
13a < 13
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{5}{3} \le a < 1
\end{array}\)

---

Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 2x - 15 < 0\\
\left( {m + 1} \right)x \ge 3
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn  giải:

Ta có \({x^2} + 2x - 15 < 0 \Leftrightarrow  - 5 < x < 3\)   

Xét bất phương trình \(\left( {m + 1} \right)x \ge 3\)    (1)

• Nếu m = - 1 thì S = Ø
• Nếu m > - 1 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{{m + 1}}\)

Hệ có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{{m + 1}} < 3\\
m >  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
m >  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

• Nếu m < - 1 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x \le \frac{3}{{m + 1}}\)

Hệ có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{{m + 1}} >  - 5\\
m + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 <  - 5m - 5\\
m <  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - \frac{8}{5}\)

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}
m <  - \frac{8}{5}\\
m > 0
\end{array} \right.\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 4 Luyện tập (trang 146) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.