Bài 47 trang 114 SGK Hình học 10 nâng cao
Xác định tiêu điểm và đường chuẩn của các đường cônic sau
a) y2 = 14x;
b) \(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\);
c) \(\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Hướng dẫn giải:
Câu a:
y2 = 14x là một parabol có p = 7, tiêu điểm \(F\left( {\frac{7}{2};0} \right)\), đường chuẩn \(x + \frac{7}{2} = 0\)
Câu b:
Đường \(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) cônic là đường elip có: \(a = \sqrt {10} ,b = \sqrt 7 ,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 3 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {10} }}\)
Tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\), đường chuẩn \(x + \frac{{10}}{{\sqrt 3 }} = 0\).
Tiêu điểm \({F_2}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\), đường chuẩn \(x - \frac{{10}}{{\sqrt 3 }} = 0\).
Câu c:
\(\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) là một hypebol có \(a = \sqrt {14} ,b = 1,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {15} ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {15} }}{{\sqrt {14} }}\)
Tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {15} ;0} \right)\), đường chuẩn \(x + \frac{{14}}{{\sqrt {15} }} = 0\)
Tiêu điểm \({F_2}\left( { \sqrt {15} ;0} \right)\), đường chuẩn \(x - \frac{{14}}{{\sqrt {15} }} = 0\).
Bài 48 trang 114 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho đường thẳng Δ:x+y−1 = 0và điểm F(1;1) . Viết phương trình của đường cônic nhận F là tiêu điểm và là đường chuẩn trong mỗi trường hợp sau đây:
a) Tâm sai e = 1
b) Tâm sai \(e = \sqrt 2 \);
c) Tâm sai \(e = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Hướng dẫn giải:
Giả sử M(x;y) ∈ (C)
\(\begin{array}{l}
MF = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}} \\
d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}
\end{array}\)
Câu a:
\(\begin{array}{l}
\frac{{MF}}{{d\left( {M,\Delta } \right)}} = e = 1\\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}} = \frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1} \right) = {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy - 2x - 2y + 3 = 0
\end{array}\)
Câu b:
\(\begin{array}{l}
\frac{{MF}}{{d\left( {M,\Delta } \right)}} = \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}} = \left| {x + y - 1} \right|\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y\\
\Leftrightarrow 2xy - 1 = 0
\end{array}\)
Câu c:
\(\begin{array}{l}
\frac{{MF}}{{d\left( {M,\Delta } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}} = \frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{2}\\
\Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1} \right) = {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y\\
\Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} - 6x - 6y - 2xy + 7 = 0
\end{array}\)
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 3 Bài 8 Đường cônic và góc bất kì với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.
