Giải Toán 10 SGK nâng cao Chương 3 Bài 3 Khoảng cách và góc

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

b) Nếu hai đường thẳng Δ và Δ′ lần lượt có phương trình px+y+m = 0 và x+py+n = 0 thì:

\(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{2\left| p \right|}}{{{p^2} + 1}}\).

c) Trong tam giác ABC ta có:

\(\cos A' = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

d) Nếu φ là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì:

\(\cos \varphi  = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\)

e) Hai điểm (7, 6) và (-1, 2) nằm về hai phía của đường thẳng

Hướng dẫn giải:

Các mệnh đề đúng là: b), c), e).

Các mệnh đề sai là: a), d).

---

Cho ba điểm A(4;−1), B(−3;2), C(1;6). Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( { - 7;3} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;7} \right)\\
\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}}\\
 = \frac{{\left( { - 7} \right).\left( { - 3} \right) + 3.7}}{{\sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {7^2}} }} = \frac{{42}}{{58}} = \frac{{21}}{{29}}\\
 \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {43^0}36'
\end{array}\).

Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là 43⁰36′ (Vì góc BAC nhọn).

---

Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng ax+by+c = 0 một khoảng bằng h cho trước.

Hướng dẫn giải:

Gọi Δ: ax+by+c = 0

Đường thẳng Δ′ song song với đường thẳng Δ đã cho có dạng:

Δ′: ax+by+c′ = 0.

Lấy M(x₀;y₀) ∈ Δ ta có:

ax₀+by₀+c = 0 ⇔ ax₀+by₀ = −c

Khoảng cách từ M đến Δ′ bằng h nên ta có:

\(\begin{array}{l}
h = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {c' - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\
 \Rightarrow c' - c =  \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
 \Rightarrow c' = c \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} 
\end{array}\)

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

\(\begin{array}{l}
ax + by + c + h\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 0\\
ax + by + c - h\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 0
\end{array}\)

---

Cho ba điểm A(3;0), B(−5;4) và P(10;2). Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng Δ đi qua P có dạng:

a(x−10)+b(y−2) = 0 (a²+b² ≠ 0)

Δ: ax+by−10a−2b = 0 (∗)

Ta có: d(A,Δ) = d(B,Δ)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + 0.b - 10a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| { - 5a + 4b - 10a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\
 \Leftrightarrow \left| {7a + 2b} \right| = \left| {15a - 2b} \right|\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
7a + 2b = 15a - 2b\\
7a + 2b =  - 15a + 2b
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8a - 4b = 0\\
22a = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 2a\\
a = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

• Với b = 2a, chọn a = 1, b = 2 ta có:

Δ: x+2y−14 = 0

• Với a = 0 , chọn b = 1 ta có:

Δ: y−2 = 0.

---

Cho điểm M(2, 3). Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho  là tam giác vuông cân tại đỉnh M.

Hướng dẫn giải:

Giả sử A(a;0); B(0;b)

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \left( {a - 2; - 3} \right);\overrightarrow {MB}  = \left( { - 2;b - 3} \right)\).

ΔABM vuông cân tại M 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0\\
MA = MB
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2\left( {a - 2} \right) - 3\left( {b - 3} \right) = 0\\
{\left( {a - 2} \right)^2} + 9 = 4 + {\left( {b - 3} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a + 3b = 13\,\,\left( 1 \right)\\
{\left( {a - 2} \right)^2} + 5 = {\left( {b - 3} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Từ (1) suy ra \(b = \frac{{13 - 2a}}{3}\) thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}
{\left( {a - 2} \right)^2} + 5 = {\left( {\frac{{13 - 2a}}{3} - 3} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + 5 = \frac{{{{\left( {4 - 2a} \right)}^2}}}{9}\\
 \Leftrightarrow 5{a^2} - 20a + 65 = 0
\end{array}\)

Phương trình vô nghiệm.

Vậy không tồn tại tam giác ABM vuông cân tại M.

---

Cho hai đường thẳng:

Δ₁: x+2y−3 = 0

Δ₂: 3x−y+2 = 0

Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm P(3, 1) và cắt Δ1, Δ2 lần lượt ở A,B sao cho Δ tạo với Δ₁ và Δ₂ một tam giác cân có cạnh đáy là AB.

Hướng dẫn giải:

Δ₁ có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2} \right)\).

Δ₂ có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 1} \right)\).

Giả sử Δ qua P có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\); Δ cắt Δ₁, Δ₂ ở A và B sao cho tạo với  một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi Δ với Δ₁ và góc hợp bởi Δ  với Δ₂ bằng nhau.

Do đó:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_2}.\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {3a - b} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }}\\
 \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {a + 2b} \right| = \left| {3a - b} \right|\\
 \Leftrightarrow 2{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\left( {3a - b} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {a^2} - 2ab - {b^2} = 0
\end{array}\)

Chọn b = 1 ta có \({a^2} - 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2 \)

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:

\(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0\)

\(\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 10 Chương 3 Bài 3 Khoảng cách và góc bất kì với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 10 học tập thật tốt.