ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN THI: TOÁN (VÒNG II)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I:
1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + {y^2} + 4xy = 8\\
\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + 2} \right) = 8
\end{array} \right.\)
2) Giải phương trình \(\frac{{\sqrt {27 + {x^2} + x} }}{{2 + \sqrt {5 - \left( {{x^2} + x} \right)} }} = \frac{{\sqrt {27 + 2x} }}{{2 + \sqrt {5 - 2x} }}\)
Câu II:
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:
\({\left( {{{\left( {27n + 5} \right)}^7} + 10} \right)^7} + {\left( {{{\left( {10n + 27} \right)}^7} + 5} \right)^7} + {\left( {{{\left( {5n + 10} \right)}^7} + 27} \right)^7}\) chia hết cho 42
2) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy\)
Câu III: Cho tam giác ABC cân tại A, có đường tròn nội tiếp (I). Các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh CA, AB (E khác C và A, F khác B và A) sao cho EF tiếp xúc với đường tròn (I) tại điểm P. Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E, F lên BC. Giả sử FK cắt EL tại điểm J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của J lên BC.
1) Chứng minh rằng HJ là phân giác của góc EHF
2) Ký hiệu S1 và S2 lần lượt là diện tích của các tứ giác BFJL và CEJK. Chứng minh rằng \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{B{F^2}}}{{C{E^2}}}\)
3) Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng ba điểm P, J, D thẳng hàng
Câu IV: Gọi M là tập tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ -2019 đến 2019. Chứng minh rằng 2021 số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ tập M luôn tồn tại 3 số đôi một phân biệt có tổng bằng 0
{-- xem đầy đủ nội dung ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây nội dung Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2019 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội Vòng 2. Để xem đầy đủ nội dung của đề thi các em vui lòng đăng nhập và chọn Xem online và Tải về.
Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh lớp 9 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi tuyển sinh sắp tới.
