Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2019 Trường Phổ Thông Năng Khiếu (Hệ chuyên) có đáp án

Bài 1. (2 điểm) Cho phương trình  thỏa mãn các điều kiện: a > 0 và \(2\sqrt {|ac|}  < |b| < a + c\)

1. Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ và \(\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) > 0\) và \(\left( {1 + {x_1}} \right)\left( {1 + {x_2}} \right) > 0\)
2. Biết thêm rằng a > c. Chứng minh rằng -1 < x₁, x₂  < 1

Bài 2 (1,5 điểm)

1. Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho 2ⁿ + 1 chia hết cho 9
2. Cho n là số tự nhiên, n > 3. Chứng minh rằng 2ⁿ + 1 không chia hết cho 2^m - 1 với mọi số tự nhiên m sao cho \(2 < m \le n\)

Bài 3. (2 điểm) Cho a và b là hai số thực phân biệt thỏa mãn điều kiện: \({a^4} - 4a = {b^4} - 4b\)

1. Chứng minh rằng 0 < a + b < 2
2. Biết rằng \({a^4} - 4a = {b^4} - 4b = k > 0\). Chứng minh rằng \( - \sqrt k  < ab < 0\)

Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi d₁, d₂ lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của góc \(\widehat {BAC}\) . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên d₁, d₂ . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên d₁, d₂.

1. Chứng minh rằng MN và PQ lần lượt đi qua trung điểm của AB và AC
2. Chứng minh rằng MN và PQ cắt nhau trên BC
3. Trên d₁ lấy các điểm E và F sao cho \(\widehat {ABE} = \widehat {BCA}\) và \(\widehat {ACF} = \widehat {CBA}\) (E thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa C; F thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B). Chứng minh rằng \(\frac{{BE}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)    
4. Các đường thẳng BN và CQ lần lượt cắt AC và AB tại các điểm K và L. Chứng minh rằng các đường thẳng KE và LF cắt nhau trên đường thẳng BC.

Bài 5. (1,5 điểm) Trong một buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ n quốc gia, người  ta nhận thấy rằng cứ 10 học sinh  bất kỳ thì có ít nhất 3 học sinh đến từ cùng một quốc gia

1. Gọi k là số các quốc gia có đúng 1 học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh ằng  \(n < \frac{{k + 10}}{2}\) 
2. Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là 160. Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất là 15 học sinh đến từ cùng một quốc gia.

Lời giải chi tiết

Bài 1: 

a) Do \(2\sqrt {|ac|}  < |b|\) nên \(4ac < {b^2}\). Suy ra \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\) nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Áp dụng định lí Viet ta có:

\(\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) = 1 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} = \frac{{a + c + b}}{a} \ge \frac{{a + c - |b|}}{a} > 0\)

Tương tự ta có:

\(\left( {1 + {x_1}} \right)\left( {1 + {x_2}} \right) = 1 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 1 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a} = \frac{{a + c - b}}{a} \ge \frac{{a + c - |b|}}{a} > 0\)

b) Ta có \(c + a > |b| \ge 0\). Suy ra c > -a. Nếu có thêm điều kiện a > c thì ta có a > |c|. Suy ra 

\(\left| {\frac{c}{a}} \right| < 1\). Từ đó \(|{x_1}{x_2}| < 1\). Như vậy một trong hai nghiệm phải có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1. Không mất tính tổng quát, giả sử, |x1| < 1. Khi đó \(1 - {x_1} < 0,1 + {x_1} > 0\). Áp dụng kết quả câu a), ta suy ra \(1 - {x_2} < 0,1 + {x_2} > 0\)

Từ đó suy ra -1 < x1, x2  < 1

Bài 2: 

a) Do \({2^6} = 64\) chia 9 dư 1 nên với n = 6k + r, r = 0, 1, 2,..., 5 thì \({2^n} + 1 = {2^{6k + r}} + 1 = {2^r}\left( {{2^{6k}} - 1} \right) + {2^r} + 1\)

Vì \({2^{6k - 1}}\) chia hết cho \({2^6} - 1\) nên từ đây suy ra  \({2^n} + 1\) chia hết cho 9 khi và chỉ khi \({2^r} + 1\) chia hết cho 9. Lần lượt thay r = 0, 1, 2, ..., 5 ta thấy chỉ có \({2^3} + 1\) chia hết cho 9. Vậy \({2^n} + 1\)chia hết cho 9 khi và chỉ khi n có dạng 6k + 3

b) Giả sử tồn tại \(n \ge m > 2\) sao cho \({2^n} + 1\) chia hết cho \({2^m} - 1\). Chọn bộ số như vậy với n nhỏ nhất. Khi đó \({2^n} + 1\) + \({2^m} - 1\). Do tính nhỏ nhất của n, ta phải có n - m < m. Suy ra \(n - m \le m - 1\)

Từ đó: \({2^{m - 1}} + 1 \ge {2^{n - m}} + 1 \ge {2^m} - 1\)

Suy ra \(2 \ge {2^{m - 1}}\), suy ra \(m - 1 \le 1\), suy ra \(m \le 2\) (mâu thuẫn)

Vậy điều giả sử sai, tức là với mọi số tự nhiên m, n sao cho \(n \ge m > 2\) thì \({2^n} + 1\) không chia hết cho \({2^m} - 1\)

{-- xem đầy đủ nội dung ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây nội dung Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2019 Trường Phổ Thông Năng Khiếu (Hệ chuyên). Để xem đầy đủ nội dung của đề thi các em vui lòng đăng nhập và chọn Xem online và Tải về.

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh lớp 9 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi tuyển sinh sắp tới.