Đề thi HSG cấp trường môn Toán lớp 10 - Trường THPT Chương Mỹ A có đáp án

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHƯƠNG MỸ A

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 ( 6 điểm) Cho hàm số $y = m x^{2} - 2 m x - m^{2} - 2$ , với m là tham số.

1) Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (-3;1).

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số không lớn hơn -4.

3) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB vuông tại M. Biết M(1;2).

Câu 2 ( 6 điểm) Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

1) $9 x^{2} - 8 x + 5 = (6 x - 3) \sqrt{x^{2} + 3}$

2) $(x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 8 x + 12) \leq 3 x^{2}$

3) ${\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} - 6 x y + 3 x - 5 y = 0 \\ 2 y (3 x^{2} + y^{2}) = 7 \end{array}$

Câu 3( 3 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S và có bán kính đường tròn nội tiếp là r. Chứng minh rằng: Tam giác ABC đều khi và chỉ khi $S = 3 \sqrt{3} r^{2}$

Câu 4 ( 3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D, đáy lớn CD. Biết BC = 2AB = 2AD, M(1;0) là trung điểm BC, đường thẳng AD có phương trình $x - \sqrt{3} y + 3 = 0$ . Tìm tọa độ đỉnh A biết A có tung độ nguyên.

Câu 5 (2 điểm) Cho các số dương a, b, c sao cho $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{a}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b}{c^{2} + a^{2}} + \frac{c}{a^{2} + b^{2}}$

…..Hết…..

ĐÁP ÁN

Câu	Ý	Nội dung	Điểm
1	1	+ m = 0 ⇒ y = -2 (ktm) + $m \neq 0$ hàm số đồng biến trên (-3;1) khi m < 0	1.0 1.0
	2	+ Hàm số có giá trị nhỏ nhất khi m > 0. Khi đó $y_{m i n} = - m^{2} - m - 2$ . + Ycbt $\leftrightarrow - m^{2} - m - 2 \leq - 4$ $\to m \geq 1$	1.0 1.0
	3	+ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A. B khi phương trình: $m x^{2} - 2 m x - m^{2} - 2 = 0$ (3) có hai nghiệm phân biệt ⇔ $Δ^{,} > 0$ $\leftrightarrow m (m^{2} + m + 2) > 0 \leftrightarrow m > 0$ + Gọi $A (x_{1}; 0); B (x_{2}; 0)$ với $x_{1}; x_{2}$ là nghiệm của phương trình (3) Ta có: $\vec{M A} = (x_{1} - 1; - 2); \vec{M B} = (x_{2} - 1; - 2)$ Tam giác MAB vuông tại M ⇔ $\vec{M A} . \vec{M B} = 0$ ⇔ $x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 5 = 0$ $\Leftrightarrow \frac{- m^{2} - 2}{m} + 3 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 2 \end{array}$ KL: $[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 2 \end{array}$	0.5 1.0 0.5
2	1	$9 x^{2} - 8 x + 5 = (6 x - 3) \sqrt{x^{2} + 3}$ $\Leftrightarrow {(\sqrt{x^{2} + 3})}^{2} + (6 x - 3) \sqrt{x^{2} + 3} + 8 x^{2} - 8 x + 2 = 0$ $Δ = (2 x - 1)^{2}$ ⇔ $[\begin{array}{l} \sqrt{x^{2} + 3} = 2 x - 1 \\ \sqrt{x^{2} + 3} = 4 x - 2 \end{array}$ + $\sqrt{x^{2} + 3} = 2 x - 1 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x \geq \frac{1}{2} \\ 3 x^{2} - 4 x - 2 = 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow x = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}$ + $\sqrt{x^{2} + 3} = 4 x - 2 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x \geq \frac{1}{2} \\ 15 x^{2} - 16 x + 1 = 0 \end{array}$ ⇔ x = 1 Phương trình có 2 nghiệm $[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{2 + \sqrt{10}}{3} \end{array}$	1.0 1.0
	2	$(x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} - 8 x + 12) \leq 3 x^{2}$ $\Leftrightarrow (x^{2} - 7 x + 6) (x^{2} - 5 x + 6) \leq 3 x^{2}$ (2). Do x = 0 không là nghiệm của (2) nên (2) $\Leftrightarrow (x + \frac{6}{x} - 7) (x + \frac{6}{x} - 5) \leq 3$ Đặt $t = x + \frac{6}{x}$ . Ta có: $t^{2} - 12 t + 32 \leq 0$ $\Leftrightarrow 4 \leq t \leq 8$ Ta có: $4 \leq x + \frac{6}{x} \leq 8$ $\Leftrightarrow {\begin{array}{l} [\begin{matrix} x < 0 \\ 4 - \sqrt{10} \leq x \leq 4 + \sqrt{10} \end{matrix} \\ x > 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow 4 - \sqrt{10} \leq x \leq 4 + \sqrt{10}$	1.0 1.0
	3	${\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} - 6 x y + 3 x - 5 y = 0 \\ 2 y (3 x^{2} + y^{2}) = 7 \end{array}$ Đặt $x = \frac{u + v}{2}; y = \frac{u - v}{2}$ ta được ${\begin{array}{l} u^{2} + u = 2 v^{2} + 4 v \\ u^{3} - v^{3} = 7 \end{array}$ $\Leftrightarrow {\begin{array}{l} 3 u^{2} + 3 u = 6 v^{2} + 12 v \\ u^{3} - v^{3} = 7 \end{array}$ $\Rightarrow (u + 1)^{3} = (v + 2)^{3}$ $\Leftrightarrow u = v + 1$ $\Rightarrow v^{2} + v - 2 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} v = 1 \\ v = - 2 \end{array}$ Với $v = 1 \to u = 2 \to {\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} \\ y = \frac{1}{2} \end{array}$ Với $v = - 2 \to u = - 1 \to {\begin{array}{l} x = - \frac{3}{2} \\ y = \frac{1}{2} \end{array}$ Hệ có hai nghiệm $(x; y) = (\pm \frac{3}{2}; \frac{1}{2})$	1.0 1.0

---Để xem đầy đủ đáp án của đề thi các em vui lòng xem online hoặc tải về máy---

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Đề thi HSG cấp trường môn Toán lớp 10 - Trường THPT Chương Mỹ A có đáp án. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!

Đề thi HSG cấp trường môn Toán lớp 10 - Trường THPT Chương Mỹ A có đáp án

Hồng Phong

Bình luận

Bài viết đọc nhiều

Bài viết cũ mà hay

Có Thể Bạn Quan Tâm ?

Đề thi HSG cấp trường môn Toán lớp 10 - Trường THPT Chương Mỹ A có đáp án

Hồng Phong

Đề thi chọn HSG môn Lịch sử 10 có đáp án năm 2020-2021 Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Bộ 4 đề thi HK1 môn Sinh học 10 năm 2020 - Trường THPT Phan Ngọc Hiển có đáp án

Tham khảo thêm

Bình luận

Bài viết đọc nhiều

Bài viết cũ mà hay

Có Thể Bạn Quan Tâm ?