Đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2021 môn Toán trường chuyên Khoa học Tự nhiên

Đề thi

Bài 1: ( 4 điểm)

a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c \(\ne \) 0 và (a + b) (b + c) (c + a) = 1

Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{{a^2}(a + b + c) + 1 + abc}} + \frac{b}{{{b^2}(a + b + c) + 1 + abc}} = \frac{{1 + abc + ab(a + b + c)}}{{{{(a + b + c)}^2}}}.\) 

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{gathered}
  {x^2} + 4{y^2} + 4xy + 2{x^2}{y^2} = 11 \hfill \\
  3xy(x + 2y) + 31 = 9x + 18y + 13xy \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\) 

Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dướng (x; y) thỏa mãn: \({3^x} + 29 = {2^y}\) 

b) Xét các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn 2(a + b + c) + ab + bc + ca = 9

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{{a + 1}}{{{a^2} + 10a + 21}} + \frac{{b + 1}}{{{b^2} + 10b + 21}} + \frac{{c + 1}}{{{c^2} + 10c + 21}}\) 

Bài 3: (3 điểm)

Cho hình thoi ABCD (\(\widehat {BAD} = {90^0}\)) có đường nội tiếp (O). Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh CB, CD sao cho MN tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm P, và tam giác CMN nhọn, không cân. Đường thẳng MN lần lượt cắt các đường thẳng AB, AD tại các điểm E và F. Gọi K, L theo thứ tự là trwucj tâm các tam giác BME, DNF. 

a) Chứng minh rằng đường thẳng OP đi qua trung điểm I của đoạn thẳng KL

b) Gọi H là trực tâm của tam giác CMN. Chứng minh rằng \(\frac{{OI}}{{CH}} - \frac{{EF}}{{2MN}} =  - \frac{1}{2}\) 

c) Gọi S, T theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng BD với các đường thẳng EK, FL. Gọi Q là giao điểm của hai đường thắng NS và MT. Đường tròn nội tiếp tam giác CMN tiếp xúc với đường thẳng MN tại điểm G. Chứng minh rằng hai đường thẳng PQ và GH song song với nhau.

Bài 4: (1 điểm)

Cho các số thực a₁, a₂,......2₂₀₂₁ thỏa mãn \(\frac{{{a_1}}}{{1 + a_1^2}} + \frac{{{a_2}}}{{1 + a_2^2}} + ..... + \frac{{{a_{2021}}}}{{1 + a_{2021}^2}} = 0\) 

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k với \(1 \leqslant k \leqslant 2021\) sao cho \(\left| {\frac{{{a_1}}}{{1 + a_1^2}} + \frac{{{a_2}}}{{1 + a_2^2}} + ........\frac{{k{a_k}}}{{1 + a_k^2}}} \right| \leqslant \frac{{2k + 1}}{8}\)

ĐÁP ÁN

Bài 1: 

Gọi A là về trái của đẳng thức cần chứng minh. Từ giả thiết, ta có

\(\begin{gathered}
  \frac{a}{{{a^2}(a + b + c) + 1 + abc}} = \frac{a}{{a(a + b)(a + c) + 1}} \hfill \\
   = \frac{a}{{a(a + b)(a + c) + (a + b)(b + c)(c + a)}} \hfill \\
   = \frac{a}{{(a + b + c)(a + b)(a + c)}} \hfill \\ 
\end{gathered} \) 

Chứng minh tương tự, ta cũng có

\(\frac{b}{{{b^2}(a + b + c) + 1 + abc}} = \frac{b}{{(a + b + c)(b + c)(b + a)}}\) 

Do đó

\(\begin{gathered}
  A = \frac{a}{{(a + b + c)(a + b)(a + c)}} + \frac{b}{{(a + b + c)(b + c)(b + a)}} \hfill \\
   = \frac{{a(b + c) + b(c + a)}}{{(a + b + c)(a + b)(b + c)(c + a)}} = \frac{{2ab + bc + ca}}{{a + b + c}} \hfill \\ 
\end{gathered} \) 

..................

 -(Để xem nội dung của Đề thi, các em vui lòng xem online hoặc đăng nhập tải về máy)-

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đáp án đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2021 môn Toán trường chuyên Khoa học Tự nhiên. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt !