Bồi dưỡng HSG Chuyên Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Toán 8

CHUYÊN ĐỀ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: \(\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\);

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.

+ Bất đẳng thức: \({{\left( ac+bd \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\) (BĐT: Bunhiacopxki);

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\).

+ \(\left| a \right|+\left| b \right|\ge \left| a+b \right|\); Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab \(\ge \) 0.

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Nếu \(y=a+{{\left[ f(x) \right]}^{2}}\) thì min y = a khi f(x) = 0.

Nếu \(y=a-{{\left[ f(x) \right]}^{2}}\) thì max y = a khi f(x) = 0.

+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).

* Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC

Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

a) \(A=4{{x}^{2}}+4x+11\)

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

c) \(C={{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-4y+7\)

Giải:

a) \(A=4{{x}^{2}}+4x+11=4{{x}^{2}}+4x+1+10={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+10\ge 10\)

\(\Rightarrow \) Min A = 10 khi \(x=-\frac{1}{2}\).

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)

= (x² + 5x – 6)(x² + 5x + 6) = (x² + 5x)² – 36 \(\ge \) -36

\(\Rightarrow \) Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.

c) \(C={{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-4y+7\)

= (x² – 2x + 1) + (y² – 4y + 4) + 2 = (x – 1)² + (y – 2)² + 2 \(\ge \) 2

\(\Rightarrow \) Min C = 2 khi x = 1; y = 2.

Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:

a) A = 5 – 8x – x²

b) B = 5 – x² + 2x – 4y² – 4y

Giải:

a) A = 5 – 8x – x² = -(x² + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)² + 21 $\le $ 21

\(\Rightarrow \) Max A = 21 khi x  = -4.

b) B = 5 – x² + 2x – 4y² – 4y

= -(x² – 2x + 1) – (4y² + 4y + 1) + 7

= -(x – 1)² – (2y + 1)² + 7 \(\le \) 7

\(\Rightarrow \) Max B = 7 khi x  = 1,  \(y=-\frac{1}{2}\).

Bài toán 3: Tìm GTNN của:

a) \(M=\left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+\left| x-3 \right|+\left| x-4 \right|\)

b) \(N={{\left( 2x-1 \right)}^{2}}-3\left| 2x-1 \right|+2\)

Giải:

a) \(M=\left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+\left| x-3 \right|+\left| x-4 \right|\)

Ta có: \(\left| x-1 \right|+\left| x-4 \right|=\left| x-1 \right|+\left| 4-x \right|\ge \left| x-1+4-x \right|=3\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) \(\ge \) 0 hay \(1\le x\le 4\)

\(\left| x-2 \right|+\left| x-3 \right|=\left| x-2 \right|+\left| 3-x \right|\ge \left| x-2+3-x \right|=1\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) \(\ge \) 0 hay \(2\le x\le 3\)

Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi \(2\le x\le 3\).

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG Chuyên đề Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y Toán 7. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.