Bồi dưỡng HSG Chuyên đề Số chính phương Toán 8

CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

 Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác

Ví dụ:

4 = 2²; 9 = 3²

A = 4n² + 4n + 1 = (2n + 1)² = B²

+ Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8

+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia

hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 2³ thì chia hết cho 2⁴,…

+ Số \(\underbrace{\text{11}...\text{1}}_{\text{n}}\) =  a thì \(\underbrace{\text{99}...\text{9}}_{\text{n}}\) = 9a \(\Rightarrow \)9a + 1 =  \(\underbrace{\text{99}...\text{9}}_{\text{n}}\) + 1 = 10ⁿ

1. Bài 1: Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư  0 hoặc 1

Giải

Gọi A = n² (n \(\in \)N)

a) xét n = 3k (k \(\in \)N) \(\Rightarrow \) A = 9k² nên chia hết cho 3

n = 3k \(\pm \) 1 (k \(\in \)N) \(\Rightarrow \) A = 9k² \(\pm \) 6k + 1, chia cho 3 dư 1

Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1

b) n = 2k (k \(\in \)N) thì A = 4k² chia hết cho 4

n = 2k +1 (k \(\in \)N) thì A = 4k² + 4k + 1 chia cho 4 dư 1

Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1

Chú ý:  + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4

             + Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1)

2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương

a) M = 1992² + 1993² + 1994²

b) N = 1992² + 1993² + 1994² + 1995²

c) P = 1 + 9¹⁰⁰ + 94¹⁰⁰ + 1994¹⁰⁰

d) Q = 1² + 2² + ...+ 100²

e) R = 1³ + 2³ + ... + 100³

Giải

a) các số 1993², 1994² chia cho 3 dư 1, còn 1992² chia hết cho 3  M chia cho 3 dư 2 do đó M không là số chính phương

b) N = 1992² + 1993² + 1994² + 1995² gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4, và hai số chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phương

c) P = 1 + 9¹⁰⁰ + 94¹⁰⁰ + 1994¹⁰⁰ chia 4 dư 2 nên không là số chính phương

d) Q = 1² + 2² + ...+ 100²

Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4 dư 1 nên tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số chính phương

e) R = 1³ + 2³ + ... + 100³

Gọi A_k = 1 + 2 +... + k = \(\frac{\text{k(k + 1)}}{\text{2}}\) , A_{k – 1} = 1 + 2 +... + k = \(\frac{\text{k(k - 1)}}{\text{2}}\) 

Ta có: A_k² – A_{k -1}² = k³ khi đó:

1³ = A₁²

2³ = A₂² – A₁²

.....................

n³ = A_n² = A_{n - 1}²

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có:

1³ + 2³ + ... +n³ = A_n² = \({{\left[ \frac{\text{n(n + 1)}}{\text{2}} \right]}^{2}}={{\left[ \frac{100(100+1)}{2} \right]}^{2}}={{\left( 50.101 \right)}^{2}}\) là số chính phương

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG Chuyên đề Số chính phương Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.