Bồi dưỡng HSG chuyên đề Các bài toán về sự chia hết của số nguyên Toán 8

BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN

a)  Kiến thức:

* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó

* Chú ý:

+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k

+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m

b) Các bài toán

Bài 1: chứng minh rằng

a) 2⁵¹ - 1 chia hết cho 7                      

b) 2⁷⁰ + 3⁷⁰ chia hết cho 13

c) 17¹⁹ + 19¹⁷ chi hết cho 18             

d) 36⁶³ - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37

e) 2⁴ⁿ  -1 chia hết cho 15 với n \(\in\) N

Giải

a) 2⁵¹ - 1 = (2³)¹⁷ - 1  2³ - 1 = 7

b) 2⁷⁰ + 3⁷⁰ (2²)³⁵ + (3²)³⁵ = 4³⁵ + 9³⁵  4 + 9 = 13

c) 17¹⁹ + 19¹⁷ =  (17¹⁹ + 1) + (19¹⁷ - 1)

17¹⁹ + 1  17 + 1 = 18 và 19¹⁷ - 1  19 - 1 = 18 nên  (17¹⁹ + 1) + (19¹⁷ - 1)

hay 17¹⁹ + 19¹⁷  18

d) 36⁶³ - 1  36 - 1 = 35  7

36⁶³ - 1 = (36⁶³ + 1) - 2  chi cho 37 dư - 2

e) 2 ⁴ⁿ - 1 = (2⁴) ⁿ - 1  2⁴ - 1 = 15

...........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1:

Tìm số dư khi chia 2¹⁰⁰

a)cho 9                    

b) cho 25              

c) cho 125

Giải

a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 2³ = 8 = 9 - 1

Ta có : 2¹⁰⁰ = 2. (2³)³³ = 2.(9 - 1)³³ = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7

Vậy: 2¹⁰⁰ chia cho 9 thì dư 7

b) Tương tự ta có:  2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰ =  [B(25) - 1]¹⁰  =  B(25) + 1

Vậy: 2¹⁰⁰ chia chop 25 thì dư 1

c)Sử dụng công thức Niutơn:

2¹⁰⁰ = (5 - 1)⁵⁰ = (5⁵⁰  - 5. 5⁴⁹ + … + \(\frac{{50.49}}{2}\). 5² - 50 . 5 ) + 1

Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 5³  = 125, hai số hạng tiếp theo: \(\frac{{50.49}}{2}\). 5² -  50.5 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1

Vậy: 2¹⁰⁰ = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1

..........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1: Tìm n \( \in \) Z để giá trị của biểu thức A = n³ + 2n² - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n² - n

Giải

Chia A cho B ta có: n³ + 2n² - 3n + 2  = (n + 3)(n² - n) + 2

Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n² - n = n(n - 1) do đó 2 chia hết cho n, ta có:

n	1	- 1	2	- 2
n - 1	0	- 2	1	- 3
n(n - 1)	0	2	2	6
	loại			loại

Vậy: Để  giá trị của biểu thức A = n³ + 2n² - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức

B = n² - n thì n \( \in \left\{ { - 1;2} \right\}\)  

............

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1: Tìm n \(\in\) N sao cho 2ⁿ – 1 chia hết cho 7

Giải

Nếu n = 3k ( k \(\in\) N) thì 2ⁿ – 1 = 2^3k – 1 = 8^k  - 1 chia hết cho 7

Nếu n = 3k + 1 ( k \(\in\) N) thì 2ⁿ – 1 = 2^{3k + 1}  – 1 = 2(2^3k – 1) + 1 = BS 7 + 1

Nếu n = 3k + 2 ( k \(\in\) N) thì 2ⁿ – 1 = 2^{3k + 2}  – 1 = 4(2^3k – 1) + 3 = BS 7 + 3

V ậy: 2ⁿ – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3

Bài 2: Tìm n \(\in\) N để:

a) 3ⁿ – 1 chia hết cho 8

b) A = 3^{2n  + 3} + 2^{4n + 1} chia hết cho 25

c) 5ⁿ – 2ⁿ chia hết cho 9

Giải

a) Khi n = 2k (k \(\in\) N) thì 3ⁿ – 1 = 3^2k – 1 = 9^k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8

 Khi n = 2k + 1 (k \(\in\) N) thì 3ⁿ – 1 = 3^{2k + 1}  – 1 = 3. (9^k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2

Vậy : 3ⁿ – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k \(\in\) N)

b) A = 3^{2n  + 3} + 2^{4n + 1} = 27 . 3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ =  (25 + 2) 3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ = 25. 3²ⁿ  + 2.3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ

= BS 25 + 2(9ⁿ  + 16ⁿ)

Nếu n = 2k +1(k N) thì 9ⁿ  + 16ⁿ = 9^{2k + 1} + 16^{2k + 1} chia hết cho 9 + 16 = 25

Nếu n = 2k  (k N) thì 9ⁿ có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16ⁿ có chữ số tận cùng bằng 6

suy ra 2((9ⁿ  + 16ⁿ) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Các bài toán về sự chia hết của số nguyên Toán 8​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.