Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 10 - Trường THPT Con Đuông

TRƯỜNG THPT CON ĐUÔNG

ĐỀ THI HSG LỚP 10

MÔN TOÁN

Thời gian: 150 phút

Câu

Nội dung

Điểm

1.

Phương trình \({x^2} - 5x + m = 0\)

5,0

a)

Giải phương trình (1) khi m = 6

1,5

Khi  PT (1) có dạng: \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

0,5

Ta có: \({\Delta '} = 4 + 1 = 5 > 0\)

0,5

 PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x₁ = 2 và x₂ = 3

0,5

b)

Tìm giá trị m thỏa mãn

3,5

Lập  ∆ = 25 - 4m

Phương trình có 2 nghiệm  khi ∆ ≥ 0 hay  m \(\le \frac{{25}}{4}\)

0,5

Áp dụng hệ thức Viet, ta có \({x_1} + {x_2} = 5;{\rm{ }}{x_1}{x_2} = m{\rm{ }}\)

 Hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) dương khi \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} > 0\\ {x_1}{x_2} > 0 \end{array} \right.\) hay m > 0.

0,5

Điều kiện  để phương trình  có 2 nghiệm dương x₁, x₂ là 0 < m \(\le \frac{{25}}{4}\) (*)

0,5

Ta có: \({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}.{x_2}} = 5 + 2\sqrt m \)

Suy ra \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = \sqrt {5 + 2\sqrt m } \)

Ta có \({x_1}\sqrt {{x_2}} + {x_2}\sqrt {{x_1}} = 6 \Leftrightarrow \sqrt {{x_1}.{x_2}} \left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right) = 6\)

 Hay \(\sqrt m \sqrt {5 + 2\sqrt m } = 6 \Leftrightarrow 2m\sqrt m + 5m - 36 = 0\) (1)

0,5

Đặt \(t = \sqrt m \ge 0\), khi đó (1) thành:

⇔ 2t³ + 5t² - 36 = 0

⇔ (t - 2)(2t² + 9t + 18) = 0

0,5

⇔ t - 2 = 0 hoặc 2t² + 9t + 18 = 0

Với  t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)).

 Với 2t² + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm.

0,5

Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x₁, x₂ thoả mãn \({x_1}\sqrt {{x_2}} + {x_2}\sqrt {{x_1}} = 6\).

0,5

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

5,0

a) Giải phương trình: \(\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} - \sqrt {3x} }} = \frac{{\sqrt {3x + 2} }}{{1 - x}}\) (1)

2,5

ĐK: x \(\ge\) 0; x khác 1.

Khi đó: (1) ⇔ \(\frac{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3x} }}{{1 - x}} = \frac{{\sqrt {3x + 2} }}{{1 - x}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1} + \sqrt {3x} = \sqrt {3x + 2} \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {6{x^2} + 3x} = 1 - 2x\\ \Rightarrow x = \frac{{ - 4 + \sqrt {21} }}{{10}} \end{array}\)

Vậy (1) có nghiệm: \(x = \frac{{ - 4 + \sqrt {21} }}{{10}}\)

0,25

0.5

0.5

0.5

0.5

0.25

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1\\ \sqrt {x + y} = {x^2} - y \end{array} \right.\)

2,5

Điều kiện: x > -y.

PT thư nhất tương đương:

\(\begin{array}{l} {\left( {x + y} \right)^2} - 1 + 2xy\left( {\frac{1}{{x + y}} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + x + y} \right) = 0\\ \Rightarrow x + y = 1 \end{array}\)

Kết hợp với PT hai ta được \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ y = 3 \end{array} \right.\)

Vậy, hệ đã cho có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ y = 3 \end{array} \right.\)

0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

0.25

Câu 2

Nội dung

Điểm

4,0

a) Tìm tập xác định của hàm số : \(y = \sqrt {\sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 1} - \sqrt {x + 3} } \)

1.5

ĐK:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x - 2 \ge 0\\ x - 1 \ge 0\\ x + 3 \ge 0\\ \sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 1} - \sqrt {x + 3} \ge 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 2\\ 2\sqrt {{x^2} - 3x + 2} \ge 6 - x \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {21} }}{3} \le x \le 6 \end{array}\)

0.5

0.5

0.5

b) Gọi \({x_1};\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\). 

Đặt \(A = \frac{{4{x_1}{x_2} + 6}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2(1 + {x_1}{x_2})}}\). Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị nhỏ nhất.

2.5

+ PT có hai ngiệm khi \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 \ge 0,\forall m\)

+ \({x_1} + {x_2} = m;\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = m - 1\)

\(\begin{array}{l} A = \frac{{4{x_1}{x_2} + 6}}{{{{({x_1} + {x_2})}^2} + 2}}\\ = \frac{{4m + 2}}{{{m^2} + 2}}\\ = \frac{{{{(m + 2)}^2}}}{{{m^2} + 2}} - 1 \ge - 1 \end{array}\)

A nhỏ nhất khi m = -2

0.25

0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu

Đáp án

Điểm

1

(5đ)

Cho phương trình: \(\left( {m + 3} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m = 0\)

1. Tìm m để phương trình có nghiệm

3.0

TH1. Nếu \(m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\), pt trở thành: \(4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\) là nghiệm

⇒ m = -3 thỏa mãn.

1.0

TH2. Nếu \(m + 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 3\)

Ta có \({\Delta '} = {\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {m + 3} \right) = 1 - m\)

1.0

Pt đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta '} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\)

Kết hợp 2 TH trên ta được m cần tìm là \(m \le 1\)

1.0

2. Khi phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\), tìm a để biểu thức \(F = \left( {{x_1} - a} \right)\left( {{x_2} - a} \right)\) không phụ thuộc vào m.

2.0

Với \(\left\{ \begin{array}{l} m \ne - 3\\ m \le 1 \end{array} \right.\) phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\), khi đó theo định lí vi-et ta có:  

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{2(m + 1)}}{{m + 3}}\\ {x_1}{x_2} = \frac{m}{{m + 3}} \end{array} \right.\)

Ta có:

\(F = \left( {{x_1} - a} \right)\left( {{x_2} - a} \right) = {x_1}{x_2} - a({x_1} + {x_2}) + {a^2}\)

= \(\frac{m}{{m + 3}} - \frac{{2a(m + 1)}}{{m + 3}} + {a^2}\)

1.0 

Câu

Đáp án

Điểm

1

(5đ)

Cho hàm số \(y = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4\)

1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 4\).

3.0

Xét phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 = 0{\rm{ (*)}}\)

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 4\) trước hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_1};{x_2} \ge\) 0  

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ s \ge 0\\ p \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 \ge 0\\ 2\left( {m + 1} \right) \ge 0\\ 4 \ge 0 \end{array} \right.\)

1.0

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m \ge 1\\ m \le - 3 \end{array} \right.\\ m > - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 1\); theo định lí viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2(m + 1)\\ {x_1}.{x_2} = 4 \end{array} \right.\)

1.0

\(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 4 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}.{x_2}} = 16 \Leftrightarrow 2(m + 1) + 4 = 16 \Leftrightarrow m = 5\) (TM)

1.0

2. Tìm m để y < 0 với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\).

2.0

Để y < 0 với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\) ⇔ đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ y(1) < 0\\ y(2) < 0 \end{array} \right.\)

1.0 

\(\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < - 3 \end{array} \right.\\ 3 - 2m < 0\\ 4 - 4m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < - 3 \end{array} \right.\\ m > \frac{3}{2}\\ m > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\)

1.0

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

5,0

a) Giải bất phương trình: \(\frac{{2x - 1}}{{\sqrt {4x + 1} }} + \sqrt {x - 1} < \sqrt {3x - 2} \) (1)

2,5

ĐK: x \(\ge\) 1 (*).

Khi đó:   (1) ⇔ \(\frac{{2x - 1}}{{\sqrt {4x + 1} }} < \sqrt {3x - 2} - \sqrt {x - 1} \)

⇔ \(\frac{{2x - 1}}{{\sqrt {4x + 1} }} < \frac{{2x - 1}}{{\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} }}\)

⇔ \(\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} < \sqrt {4x + 1} \) (do \(x \ge 1\))

⇔ \(\sqrt {(3x - 2)(x - 1)} < 2\)

⇔ \(3{x^2} - 5x - 2 < 0\)

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < x < 2\)

Kết hợp với điều kiện (*), ta có nghiệm của bất phương trình là \(1 \le x < 2\)

Vậy (1) có  nghiệm: \(1 \le x < 2\)

0,25

0,25

0,5

0,5

0,25

0,25

0.25

0.25

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 2\frac{{{x^2}}}{y} + 2\frac{x}{{{y^2}}} = \frac{1}{{{y^3}}}\\ {x^2} + \frac{1}{{{y^2}}} - x + \frac{1}{y} = 2 \end{array} \right.\)

2,5

Điều kiện: y khác 0.

\(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 2\frac{{{x^2}}}{y} + 2\frac{x}{{{y^2}}} = \frac{1}{{{y^3}}}\\ {x^2} + \frac{1}{{{y^2}}} - x + \frac{1}{y} = 2 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^3} - \frac{1}{{{y^3}}} - 2\frac{x}{y}(x - \frac{1}{y}) = 0\\ {(x - \frac{1}{y})^2} + 2\frac{x}{y} - (x - \frac{1}{y}) = 2 \end{array} \right.\) (I)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(x - \frac{1}{y})^3} + \frac{x}{y}(x - \frac{1}{y}) = 0\\ {(x - \frac{1}{y})^2} + 2\frac{x}{y} - (x - \frac{1}{y}) = 2 \end{array} \right.\)

Đặt \(u = x - \frac{1}{y},v = \frac{x}{y}\), hệ phương trình trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l} {u^3} + uv = 0\\ {u^2} + 2v - u = 2 \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u({u^2} + v) = 0\\ {u^2} + 2v - u = 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = 0\\ {u^2} + 2v - u = 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} v = - {u^2}\\ {u^2} + 2v - u = 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = 0\\ v = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} v = - {u^2}\\ {u^2} - 2{u^2} - u = 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u = 0\\ v = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - \frac{1}{y} = 0\\ \frac{x}{y} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = - 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy, hệ đã cho có nghiệm (x,y) là : (-1 ;-1) ; (1 ;1)

0.25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0.25