Bài tập SGK Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Bài tập 1 trang 87 SGK Đại số 10

Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1};\) 

b)  \(\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3};\)

c)  \(2|x| - 1 +\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1};\)

d) \(2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}.\)

Bài tập 2 trang 88 SGK Đại số 10

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

a)  \(x^2 +\sqrt{x+8}\leq 3;\)

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\)

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\)

Bài tập 3 trang 88 SGK Đại số 10

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0;\)

b) \(2x^2 +5 \leq 2x - 1\) và \(2x^2 - 2x + 6 \leq 0\);

c) \(x + 1 > 0\) và  \(x + 1 +\frac{1}{x^{2}+1}>\frac{-1}{x^{2}+1};\)

d) \(\sqrt{x-1} \geq x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} \geq x(2x + 1).\)

Bài tập 4 trang 88 SGK Đại số 10

Giải các phương trình sau

a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4};\)

b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \leq (x - 1)(x + 3) + x^2 - 5.\)

Bài tập 5 trang 88 SGK Đại số 10

Giải các hệ bất phương trình

a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}}\\{2(x - 4) < \frac{{3x - 14}}{2}.}\end{array}} \right.\)

Bài tập 4.19 trang 107 SBT Toán 10

Viết điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

a) \(2x - 3 - \frac{1}{{x - 5}} < {x^2} - x\)

b) \({x^3} \le 1\)

c) \(\sqrt {{x^2} - x - 2}  < \frac{1}{2}\)

d) \(\sqrt[3]{{{x^4} + x - 1}} + {x^2} - 1 \ge 0\)

Bài tập 4.20 trang 107 SBT Toán 10

Chứng tỏ rằng x = -7 không phải là nghiệm của bất phương trình \(x + 3 - \frac{1}{{x + 7}} < 2 - \frac{1}{{x + 7}}\)nhưng lại là nghiệm của bất phương trình x + 3 < 2.

Bài tập 4.21 trang 108 SBT Toán 10

Xét xem x = -3 là nghiệm của bất phương trình nào trong hai bất phương trình sau 3x + 1 < x + 3 (1) và (3x + 1)² < (x + 3)² (2)

Từ đó suy ra rằng phép bình phương hai vế một bất phương trình không phải là phép biến đổi tương đương.

Bài tập 4.22 trang 108 SBT Toán 10

Tìm điều kiện của mỗi bất phương trình đã cho sau đây rồi cho biết các bất phương trình này có tương đương đương với nhau hay không:

\(\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}  \ge x\,\,\left( 1 \right)\) và \(\sqrt {x - 1} .\sqrt {x - 2}  \ge x\,\,\left( 2 \right)\)

Bài tập 4.23 trang 108 SBT Toán 10

Nếu nhân hai vế bất phương trình \(\frac{1}{x} \le 1\) với x ta được bất phương trình nào? Bất phương trình nhận được có tương đương với bất phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Bài tập 4.24 trang 108 SBT Toán 10

Nếu bình phương hai vế (khử căn thức chứa ẩn) của bất phương trình \(\sqrt {1 - x}  \le x\) ta nhận được bất phương trình nào? Bất phương trình nhận được có tương đương với bất phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Bài tập 4.25 trang 108 SBT Toán 10

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:

a) \({x^2} + \frac{1}{{{x^2} + 1}} < 1\)

b) \(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\)

c) \(\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  < 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\)