Bài 6: Từ vuông góc đến song song

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

* Ba đường thẳng d, d’, d’’ song song với nhau từng đôi mội ta nói ba đường thẳng ấy song song với nhau. Ký hiệu: d // d’ // d’’.

Ví dụ 1: Trong hình, biết $\hat{M}={120}^0,\hat{N}={60}^0$ và $\hat{F}={90}^0.$ Chứng minh $a\mathrm{\perp }c.$

Giải

Ta có: $\hat{M}+\hat{N}={120}^0+{60}^0={180}^0,$ suy ra a//b (vì có cặp góc trong cùng phía bù nhau).

Ta có $\hat{F}={90}^0\Rightarrow c\mathrm{\perp }b,$ mà a // b nên $c\mathrm{\perp }a$(hệ quả của định lý hai đường thẳng song song).

Ví dụ 2: Trên hình bên ta có $\widehat{ABC}=\hat{A}+\hat{C}.$ Hai đường thẳng Ax và Cy có song song với nhau hay không?

Giải

Vẽ tia Bm sao cho $\widehat{ABm}$ và $\hat{A}$ là hai góc so le trong và bằng nhau.

Ta có $\widehat{ABm}=A\Rightarrow Ax//Bm{}^{(1)}$

Tia Bm nằm giữa hai tia BA, BC nên $\widehat{ABC}=\widehat{ABm}+\widehat{CBm}$

Hay $\widehat{ABC}=\hat{A}+\widehat{CBm}$

$\widehat{ABC}=\hat{A}+\hat{C}(gt)$Mặt khác

Suy ra $\hat{C}=\widehat{CBm}$

Hai góc C và CBm bằng nhau ở vị trí so le trong nên Cy //Bm (2)

Từ (1) và (2) suy ra Ax // Cy.

$xOy={145}^0.$

Ví dụ 3: Cho góc  Trên tia Ox lấy điểm A. Qua A vẽ tia Az sao cho tia Az và Oy nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chừa tia Ox và $\widehat{OAz}={35}^0.$

a. Chứng minh: Az // Oy

b. Vẽ tia Az’ đối với tia Az. Chứng minh hai đường phân giác của hai góc xOy và OAz’ song song với nhau.

Giải

a. Ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{xOy}={145}^0(gt)\\ \widehat{OAz}={35}^0(gt)\\ \Rightarrow \widehat{xOy}+\widehat{OAz}={180}^0\end{array}$

mà $\widehat{xOy}$ và $\widehat{OAz}$ ở vị trí góc trong cùng phía nên Az // Oy.

b. Gọi Ot phân giác $\widehat{AOy}$ nên

$\widehat{AOt}=\frac{1}{2}\widehat{AOy}=\frac{1}{2}{.145}^0={72}^0{30}^{\prime }{}^{(1)}$

$\widehat{OA{z}^{\prime }}$$\widehat{OAz}$ kề bù mà $\widehat{OAz}={35}^0$ nên $\widehat{OA{z}^{\prime }}={145}^0$

Gọi Am là phân giác $\widehat{OA{z}^{\prime }}$ ta có: $\widehat{OAm}=\frac{1}{2}\widehat{OA{z}^{\prime }}={72}^0{30}^{\prime }{}^{(2)}$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{OAm}=\widehat{AOt.}$

$\widehat{OAm}$

Mà và $\widehat{AOt}$ ở vị trí so le trong

Nên Am // Ot.

Bài 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Cho hai đường thẳng song song a và b. Nếu đường thẳng d vuông góc với a thì d cũng vuông góc với b.

C. Với ba đường thẳng a, b và c. Nếu $a\mathrm{\perp }b$ và $b\mathrm{\perp }c$ thì $a\mathrm{\perp }c.$

D. Hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau tại O nếu $\widehat{xOy}={90}^0$ thì ba góc còn lại cũng là góc vuông.

Giải

$a\mathrm{\perp }b,b\mathrm{\perp }c$Nếu thì a//c do đó C là sai. Vậy chọn C.

Bài 2: Cho góc nhọn xOy. $QR\mathrm{\perp }Ox.$Từ điểm M trên cạnh Ox, dựng $MN\mathrm{\perp }Oy;$ dựng $NP\mathrm{\perp }Ox;$ dựng

a. Chứng minh MN // PQ; NP // QR.

b. Tìm góc bằng góc PMN.

c. Chứng minh $\widehat{MNP}=\widehat{NPQ}=\widehat{PQR};\widehat{PNQ}=\widehat{RQO};\widehat{QPR}=\widehat{NMP}.$

Giải

a. Ta có

$\begin{array}{l}MN\mathrm{\perp }Oy(gt)\\ PQ\mathrm{\perp }Oy(gt)\end{array}$

Nên MN // PQ.

NP//QR (cùng vuông góc với Ox)

b. Ta có:

$\widehat{PMN}=\widehat{RPQ}$ (đồng vị)

c. Ta có:

$\widehat{MNP}=\widehat{NPQ}$ (so le trong của MN // PQ)

$\widehat{MNP}=\widehat{PQR}$ (so le trong của NP // QR)

Vậy $\widehat{MNP}=\widehat{NPQ}=\widehat{PQR}.$

$\widehat{PNQ}=\widehat{RQO}$ (đồng vị của NP//QR)

$\widehat{QPR}=\widehat{NMP}$ (đồng vị)

Vậy $\widehat{PNQ}=\widehat{RQO};\widehat{QPR}=\widehat{NMP}.$

Bài 3: Cho $\widehat{xOy}=\alpha ,$ điểm A nằm trên Oy. Qua A vẽ tia Am. Tính số đo góc $\widehat{OAm}$ để $Am//Ox.$

Giải

Xét vị trí của tia Am với góc xOy, có 2 trường hợp:

* Tia Am thuộc miền trong góc xOy

* Tia Am thuộc miền ngoài góc xOy.

Ta có:

* Tia Am thuộc miền trong góc xOy thì có $\widehat{OAm}$ và $\widehat{xOy}$ là 2 góc trong cùng phía.

Để Am // Ox thì phải có $\widehat{xOy}+\widehat{OAm}={180}^{0}hay\alpha +\widehat{OAm}={180}^0.$

Suy ra $\widehat{OAm}={180}^0-\alpha$

* Tia Am thuộc miền ngoài góc xOy thì $\widehat{xOy}$ và $\widehat{OAm}$ là 2 góc so le trong.

Vậy để Am // Ox thì $\widehat{OAm}=\widehat{xOy}=\alpha$.

Qua bài giảng Từ vuông góc đến song song này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như: 

• Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song của ba đường thẳng
• Ba đường thẳng song song

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Bài 6 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho ba đường thẳng phân biệt a, b và c, biết a // b và a $\mathrm{\perp }$ c. Kết luận nào sau đây đúng?

  • A. b // c
  • B. b $\mathrm{\perp }$ c
  • C. a $\mathrm{\perp }$ b
  • D. Tất cả các đáp án trên đều sai

• Câu 2:

  Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c biết a //b và b // c. Chọn kết luận đúng:

  • A. a // c
  • B. a $\mathrm{\perp }$ c
  • C. a cắt c
  • D. Cả A, B, C đều sai

• Câu 3:

  Điền tiếp vào chỗ '' ... '' để có được một định lý. ''Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì ...''

  • A. vuông góc với nhau 
  • B. cắt nhau
  • C. trùng nhau
  • D. song song với nhau

• Câu 4:

  Điền tiếp vào chỗ '' ... '' để có được một định lý. 
  ''Cho ba đường thẳng phân biệt, nếu một đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng thì nó ...''

  • A. song song với đường thẳng còn lại 
  • B. cắt đường thẳng còn lại 
  • C. vuông góc với đường thẳng còn lại 
  • D. trùng với đường thẳng còn lại 

• Câu 5:

  Khẳng định nào sau đây là sai?

  • A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
  • B. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, nếu đường thẳng c cắt a thì đường thẳng c cũng cắt b.
  • C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
  • D. Có duy nhất một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 40 trang 97 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 41 trang 97 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 42 trang 98 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 43 trang 98 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 44 trang 98 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 45 trang 98 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 46 trang 98 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 47 trang 98 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 48 trang 99 SGK Toán 7 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!