Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Với số a, ta có: \(|a| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,\,neu\,\,\,a \ge 0\\ - a\,\,neu\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\)

Tương tự như vậy, với đa thức ta cũng có: \(|f(x)| = \left\{ \begin{array}{l}f(x)\,\,\,neu\,\,f(x)\, \ge 0\\ - f(x)\,\,neu\,\,f(x)\, < \,0\end{array} \right.\)

Ví dụ 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a. \(A = |x - 4| + x - 3\)  khi \(x \ge 4.\)

b. \(B = 2x + 3 - |1 - 2x|\) khi \(x \ge \frac{1}{2}\)

c. \(C = |x - 2| + |2x - 3| + 2x + 1\) khi x > 2.

d. \(D = |x - 1| + 2x - 3.\)

Giải

a. Với giả thiết \(x \ge 4\), ta suy ra: x – 4 \(x - 4 \ge 0 \Rightarrow |x - 4| = x - 4\)

Do đó, A được viết lại: \(A = x - 4 + x - 3 = 2x - 7.\)

b. Với giả thiết \(x \ge \frac{1}{2}\), ta suy ra: \(1 - 2x \le 0 \Rightarrow |1 - 2x| =  - (1 - 2x)\)

Do đó, B được viết lại: \(B = 2x + 3 - {\rm{[}} - (1 - 2x){\rm{]}} = 2x + 3 + 1 - 2x = 4\)

c. Với giả thiết x > 2, ta suy ra: \(x - 2 > 0 \Rightarrow |x - 2| = x - 2\)

\(2x - 3 > 0 \Rightarrow |2x - 3| = 2x - 3\)

Do đó, C được viết lại: C = x – 2 + 2x – 3 + 2x +1 = 5x – 4.

d. Ta đi xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Khi \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1,\) ta được: \(D{\rm{ }} = {\rm{ }}x - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}2x - 3 = 3x - 4\)

Trường hợp 2: Khi \(x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\), ta được: \(D =  - (x - 1) + 2x - 3 = x - 2.\)

Tóm lại: \(D = \left\{ \begin{array}{l}3x - 4\,\,khi\,\,x\, \ge 1\\x - 2\,\,\,\,\,khi\,\,x\,\, < \,1\end{array} \right.\)

Ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:

Dạng 1: Phương trình: |f(x)| =k, với k là hằng số không âm.

Dạng 2: Phương trình: |f(x)| = |g(x)|

Dạng 3: Phương trình: |f(x)| = g(x)

Bài toán 1: Giải phương trình: |f(x)=k, với k là hằng số không âm.

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần)

Bước 2: Khi đó: \(\left| {f(x)} \right| = k \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}f(x) = k\\f(x) =  - k\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện , từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

---

Ví dụ 2: Giải phương trình

a. \(|2x - 3| = 1\)

b. \(\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| - 2 = 0\)

Giải

a. Biến đổi tương đương phương trình: \(|2x - 3| = 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3 = 1\\2x - 3 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 1 + 3\\2x =  - 1 + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 1

b. Điều kiện xác định của phương trình là: \(x \ne 0\)

Biến đổi tương đương phương trình:

\(\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{x} = 2\\\frac{{x + 1}}{x} =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2x\\x + 1 =  - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2x =  - 1\\x + 2x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và \(x =  - \frac{1}{3}.\)

---

Bài toán 2: Giải phương trình |f(x)| = |g(x)|

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).

Bước 2: Khi đó \(|f(x)| = |g(x)| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) =  - g(x)\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

---

Ví dụ 3: Giải phương trình

a. |2x + 3| = |x – 3|

b. \(\left| {\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}}} \right| - |x| = 0\)

Giải

a. Biến đổi tương đương phương trình: |2x + 3| = |x – 3|

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = x - 3\\2x + 3 =  - (x - 3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - x =  - 3 - 3\\2x + x = 3 - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 6\\x = 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 và x = 0.

b. Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 0\)

Biến đổi tương đương phương trình

\(\left| {\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}}} \right| = |x| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = x\\\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} =  - x\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - x + 2 = x(x + 1)\\{x^2} - x + 2 =  - x(x + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 2\\2{x^2} =  - 2\,\,(VN)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

---

Bài toán 3: Giải phương trình |f(x)|=g(x).

Phương pháp giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: (Phá dấu trị tuyệt đối) Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).

 Bước 2: Xét hai trường hợp:

** Trường hợp 1: Nếu \(f(x) \ge 0.\)   (1)

Phương trình có dạng: \(f(x) = g(x) \Rightarrow \) nghiệm và kiểm tra điều kiện (1).

** Trường hợp 2: Nếu f(x) < 0.   (2)

Phương trình có dạng: -f(x) = g(x)

\( \Rightarrow \) nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)

Bước 3: Kết luận nghiệm cho phương trình.

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và \(g(x) \ge 0.\)

Bước 2: Khi đó  \(|f(x)| = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) =  - g(x)\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

---

Ví dụ 4: Giải phương trình: |x + 4| + 3x = 5.

Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Xét hai trường hợp:

       Trường hợp 1: Nếu \(x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 4\)   (1)

Khi đó, phương trình có dạng:

\(x + 4 + 3x = 5 \Leftrightarrow 4x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4},\) thoả mãn điều kiện (1)

     Trường hợp 2: Nếu \(x + 4 < 0 \Leftrightarrow x <  - 4\)   (2)

Khi đó, phương trình có dạng:

\( - (x + 4) + 3x = 5 \Leftrightarrow 2x = 9\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{9}{2},\) không thoả mãn điều kiện (2)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{4}\)

Cách 2: Viết lại phương trình dạng: |x + 4| = 5 – 3x

Với điều kiện: \(5 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{3}\) (*)

Khi đó, phương trình được biến đổi: |x + 4| = 5 – 3x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 4 = 5 - 3x\\x + 4 =  - (5 - 3x)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\x = \frac{9}{2}\,\,(khong\,\,thoa\,\,man\,(*))\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{4}\)

Bài 1: Giải phương trình: |2x – 3m| = |x + 6|, với m là tham số.

Giải

Biến đổi tương đương phương trình

\(|2x - 3m|\,\, = \,|x + 6|\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}2x - 3m = x + 6\\2x - 3m =  - (x + 6)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}2x - x = 6 + 3m\\2x + x =  - 6 + 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6 + 3m\\x = m - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6 + 3m và x = m – 2.

---

Bài 2: Giải phương trình: \(2\left| {x-1} \right| = {x^2} - 2x - 2.\)

Giải

Viết lại phương trình dưới dạng:

\(({x^2} - 2x + 1) - 2|x - 1| - 3 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} - 2|x - 1| - 3 = 0\)  (1)

Đặt t = |x – 1|, điều kiện \(t \ge 0\).

Khi đó: \((1) \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + t - 3t + 3 = 0 \Leftrightarrow t(t + 1) - 3(t + 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow (t + 1)(t - 3) = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

Với t = 3, ta được: \(|x - 1| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\x - 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 4 hoặc x = -2.

---

Bài 3: Giải phương trình \(\frac{3}{{|x + 1|}} + \frac{{|x + 1|}}{3} = 2\)   (1)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne  - 1\)

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Đặt  \(t = \frac{{|x + 1|}}{3},\) điều kiện t > 0.

Khi đó: \((1) \Leftrightarrow \frac{1}{t} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{|x + 1|}}{3} = 1 \Leftrightarrow |x + 1| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 3\\x + 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2 và x = -4.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta được:

\(VT = \frac{3}{{|x + 1|}} + \frac{{|x + 1|}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{3}{{|x + 1|}}.\frac{{|x + 1|}}{3}}  = 2 = VP\)

Vậy phương trình tương đương với:

\(\frac{3}{{|x + 1|}} = \frac{{|x + 1|}}{3} \Leftrightarrow 9 = {(x + 1)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 3\\x + 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghệm x = 2 và x = -4.

Qua bài giảng Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nhắc lại được kiến thức về giá trị tuyệt đối
• Nắm được cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 
• Vận dụng được kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Bài 5 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Phương trình |2x - 5| = 3 có nghiệm là:

   

  • A. x = 4, x = -1
  • B. x = -4, x = -1
  • C. x = 4, x = 1
  • D. x = -4, x = -1

• Câu 2:

  Phương trình 2.|3 - 4x| + 6 = 10 có nghiệm là

  • A. \(x = \frac{3}{4};x = \frac{5}{4}\)
  • B. \(x = \frac{1}{4};x = \frac{5}{4}\)
  • C. \(x = \frac{-1}{4};x = \frac{5}{4}\)
  • D. \(x = \frac{1}{4};x = \frac{4}{5}\)

• Câu 3:

  Tập nghiệm của phương trình |5x - 3| = x + 7 là 

  • A. \(\left\{ {\frac{5}{2}} \right\}\)
  • B. \(\left\{ {\frac{5}{2};\frac{2}{3}} \right\}\)
  • C. \(\left\{ {\frac{5}{2};\frac{-3}{2}} \right\}\)
  • D. \(\left\{ {\frac{5}{2};\frac{-2}{3}} \right\}\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 35 trang 51 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 36 trang 51 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 37 trang 51 SGK Toán 8 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!