Bài 4: Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Để giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch ta vận dụng các kiến thức sau:

• Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch:

\(\frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\).

• Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} \Rightarrow \frac{{{y_1} + {y_2}}}{{{y_2}\,}} = \frac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}}},...\).

• Nếu y tỉ lệ nghịch với x thì y tỉ lệ thuận với \(\frac{1}{x}\).

Ví dụ 1:

Hai xe ôtô khởi hành cùng một lúc và đi về phía gặp nhau từ hai tỉnh A, B cách nhau 544km. Tính xem hai xe gặp nhau cách A bao nhiêu km, biết rằng xe thứ nhất đi cả quãng đường AB hết 12 giờ còn xe thứ hai phải hết 13g30 phút.

Hướng dẫn giải:

Gọi \({S_1},{V_1};{{\rm{S}}_2},{V_2}\) lần lượt là quãng đường đi được và vận tốc của xe thứ nhất và thứ hai cùng đi quãng đường AB thì vận tốc là thời gian đi của chúng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{13,5}}{{12}} = \frac{9}{8}\)   (1)

Từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, hai xe cùng đi trong một thời gian nên quãng đường đi được và vận tốc của chúng tỉ lệ nghịch với nhau. Ta có \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{8}\)

Suy ra \(\frac{{{S_1}}}{9} = \frac{{{S_2}}}{8} = \frac{{{S_1} + {S_2}}}{{9 + 8}} = \frac{{544}}{{17}} = 32\)

Do đó \({S_1} = 32.9 = 288\)

Vậy chỗ gặp nhau cách A là 288km.

Ví dụ 2:

Trong một xưởng cơ khí, người thợ chính tiện xong một dụng cụ hết 5 phút, người thợ phụ hết 9 phút. Nếu trong cùng một thời gian như nhau cả hai cùng làm việc thì tiện được cả thảy 84 dụng cụ. Tính số dụng cụ mà mỗi người đã tiện được.

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y lần lượt là số dụng cụ của người của người thợ chính, thợ phụ. Ta có số dụng cụ tỉ lệ nghịch với thời gian làm việc nên

\(\frac{x}{{\frac{1}{5}}} = \frac{y}{{\frac{1}{9}}}\) và x + y = 84

Nên \(\frac{x}{{\frac{1}{5}}} = \frac{y}{{\frac{1}{9}}} = \frac{{x + y}}{{\frac{1}{5} + \frac{1}{9}}} = \frac{{84}}{{\frac{{14}}{{45}}}} = \frac{{84 - 45}}{{14}} = 270\)

Vậy \(\begin{array}{l}\frac{x}{{\frac{1}{5}}} = 270 \Rightarrow x = \frac{1}{5}.270 = 54\\\frac{y}{{\frac{1}{9}}} = 270 \Rightarrow y = \frac{1}{9}.270 = 30\end{array}\).

Người thợ chính làm được 54 dụng cụ.

Người thợ phụ làm được 30 dụng cụ.

Ví dụ 3:

Ba đơn vị cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340 triệu. Đơn vị thứ nhất có 8 xe và ở cách cầu 1,5km. Đơn vị thứ hai có 4 xe và ở cách cầu 3km. Đơn vị thứ ba có 6 xe và ở cách cầu 1 km.

Hỏi mỗi đơn vị phải trả bao nhiêu tiền cho việc xây dựng cầu, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ các đơn vị tới cầu.

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y, z là số tiền mà mỗi đơn vị phải trả cho việc xây dựng cầu (tính ra triệu đồng).

Ta có: x + y + z = 340.

Số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe trên: x : y : z = 8 : 6 :  4

Số tiền phải trả tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ mỗi đơn vị đến cầu, nên:

\(x{\rm{ }}:{\rm{ }}y{\rm{ }}:{\rm{ }}z = \frac{1}{{1,5}}:\frac{1}{3}:1 = \frac{1}{3}:\frac{1}{3}:1\).

Suy ra \(\frac{x}{{\frac{{16}}{3}}} = \frac{y}{{\frac{6}{3}}} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{\frac{{16}}{3} + \frac{6}{3} + 4}} = \frac{{x + y + z}}{{\frac{{34}}{3}}} = \frac{{340}}{{\frac{{34}}{3}}} = 30\).

Do đó: \(\begin{array}{l}x = \frac{{16}}{3}.30 = 160\\y = \frac{6}{3}.30 = 60\\z = 4.30 = 120\end{array}\).

Vậy: Đơn vị thứ nhất trả 160 triệu, đơn vị thứ hai trả 60 triệu và đơn vị thứ ba trả 120 triệu.

Bài 1: 

Chia số 393 thành những phần tỉ lệ nghịch với các số \(0,2;\,\,3\frac{1}{3};\,\,\frac{4}{5}\).

Hướng dẫn giải:

Ta chia 393 thành ba phần x, y, z tỉ lệ thuận  với các số nghịch đảo của \(0,2;\,\,3\frac{1}{3};\,\,\frac{4}{5}\). Ta có \(0,2 = \frac{1}{5};\,\,3\frac{1}{3} = \frac{{10}}{3};\,\,\frac{4}{5}\)

Do đó theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}393\\x:y:z = 5:\frac{3}{{10}}:\frac{5}{4} = 100:6:25\end{array}\)

Hay \(\frac{x}{{100}} = \frac{y}{6} = \frac{z}{{25}} = \frac{{x + y + z}}{{131}} = \frac{{393}}{{131}} = 3\)

Do đó: \(\begin{array}{l}\frac{x}{{100}} = 3 \Rightarrow x = 300\\\frac{y}{6} = 3 \Rightarrow y = 18\\\frac{z}{{25}} = 3 \Rightarrow z = 75\end{array}\).

Bài 2: 

Giá hàng hạ 20%. Hỏi cùng với một số tiền có thể mua thêm bao nhiêu % hàng?

Hướng dẫn giải:

Vì số tiền hàng đổi nên giá hàng tỉ lệ nghịch với số hàng mua được. Nếu giá hàng là 100% và mua được số hàng là a thì khi giá hàng hạ 20% tức là bằng 80% sẽ mua được số hàng là a + x, với x là số hàng mua được thêm.

Ta có: \(\frac{{100\% }}{{80\% }} = \frac{{a + c}}{a}\)

Suy ra \(\frac{{a + x - a}}{a} = \frac{{100\%  - 80\% }}{{80\% }}\)

Hay \(\frac{x}{a} = \frac{{20\% }}{{80\% }} = 0,25\)

\(x = 0,25.a\)

Vậy \(x = 25\%\).

Có thể mua thêm được 25% hàng.

Bài 3: 

Một người mua vải để may ba áo sơ mi như nhau. Người ấy mua ba loại vải khổ rộng 0,7m; 0,8m và 1,4m với tổng số vải là 5,7m. Tính số mét vải mỗi loại người ấy đã mua.

Hướng dẫn giải:

Vì ba áo sơ mi như nhau nên khổ vải tỉ lệ nghịch với chiều dài của vải.

Gọi số mét vải mỗi loại người ấy đã mua là x, y, z (x, y, z >0)

Ta có 0,7x = 0,8y = 1,4z

Hay 7x = 8y = 14z

BCNN (7,8,14) = 56 nên

\(\frac{{7x}}{{56}} = \frac{{8y}}{{56}} = \frac{{14z}}{{56}}\)

Suy ra \(\frac{x}{8} = \frac{y}{7} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{8 + 7 + 4}} = \frac{{5,7}}{{19}} = 0,3\)

Do đó:

x= 0,3 . 8 = 2,4 (m)

y= 0,3 .7 = 2,1 (m)

z= 0,3.4 =1,2 (m)

Vậy số mét vải khổ 0,7m là 2,4m; khổ 0,8m là 2,1m; khổ 1,4m là 1,2m.

Qua bài giảng Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch này, các em sẽ nhận biết và làm được những bài toán liên quan đại lượng tỉ lệ nghịch

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo tỉ số k₁ \(\left( {{k_1} \ne 0} \right)\) và x tỉ lệ nghịch với z theo tỉ số k₂ \(\left( {{k_2} \ne 0} \right)\). Chọn câu đúng

  • A. y là z tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ \(\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}}\)
  • B. y là z tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ \(\frac{{{k_2}}}{{{k_1}}}\)
  • C. y là z tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ k₁.k₂
  • D. y là z tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ \(\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}}\)

• Câu 2:

  Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 50km/h thì hết 2 giờ 15 phút. Hỏi ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 45km/h thì hết bao nhiêu thời gian?

  • A. 3,25 giờ
  • B. 3, 5 giờ
  • C. 3 giờ
  • D. 2,5 giờ

• Câu 3:

  Nếu một người đi từ A đến B bằng xe đạp mất 90 phút thì người đó đi từ B về A bằng xe máy với vận tốc gấp đôi xe đạp thì mất:

  • A. 45 phút 
  • B. 180 phút 
  • C. 60 phút 
  • D. 30 phút 

• Câu 4:

  Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 50 km/h thì mất 6 giờ. Lúc từ B về A, xe chạy với vận tốc 30 km/h thì mất bao lâu?

  • A. 9,6 giờ
  • B. 7 giờ
  • C. 10 giờ
  • D. 8 giờ

• Câu 5:

  Cho biết 5 công nhân hoàn thành một công việc trong 16 giờ. Hỏi 8 công nhân (với cùng năng suất như thế) hoàn thành công việc đó trong bao nhiêu giờ?

  • A. 10 giờ 
  • B. 12 giờ
  • C. 13 giờ
  • D. 15 giờ

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 16 trang 60 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 17 trang 61 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 18 trang 61 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 19 trang 61 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 20 trang 61 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 21 trang 61 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 22 trang 62 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 23 trang 62 SGK Toán 7 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!