Bài 4: Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

Trong thực tế, ta thường gặp trường hợp một đại lượng ngẫu nhiên là hàm số của một hay nhiều đại lượng ngẫu nhiên khác. Khi đó nếu biết được phân phối xác suât của các đối số thì ta có thể tìm được phân phối xác suất của các hàm số tương ứng.

Nếu với mỗi giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên X, qua hàm f(X), ta xác định được một giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Y thì Y được gọi là hàm của đại lượng ngẫu nhiên X:

\(Y = f(X)\)

Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và ứng với các giả trị khác nhau của Xtacó các giá trị khác nhau của Y

Trường hợp này, ứng với mỗi giá trị có thể nhận của X ta chỉ có một giá trị có thể nhận của Y, tức:

\(\left( {X = {\rm{ }}{x_i}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left[ {Y = {\rm{ }}f\left( {{x_i}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{y_i}} \right]{\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}\left( {\forall i} \right)\)

Suy ra:

\(P(X = {x_i}) = P(Y = {y_i})\,\,\,\,(\forall i)\)

Thí dụ 1: Đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:

X	2	3	4
P	0,3	0,5	0,2

Tìm phân phối xác suất của Y = X²

Giải: Các giá trị mà Y có thể nhận là:

\({y_1} = {2^2} = 4;{\rm{ }}{y_2} = {3^2} = 9;{\rm{ }}{y_3} = {4^2} = 16\)

\(P(X= 2) = P(Y= 4) = 0,3; P(X= 3) = P(Y= 9) = 0,5;\)

\(P(X= 4) = P(Y= 16) = 0,2;\)

Vậy phân phối xác suất của Y như sau:

X	4	9	16
P	0,3	0,5	0,2

 

Nếu tương ứng một hoặc hai giá trị của X ta có một giá trị của Y

Chẳng hạn ứng với 2 giá trị có thể nhận của X ta chỉ có một giá trị có thể nhận của Y, tức:

\((Y = {y_k}) = (X = {x_t}) \cup (X = {x_j})\)

Do các biến cố (X= x_t) và (X= x_j) xung khắc, áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

\(P(Y= y_k) = P(X= x_t) + P(X= x_j)\)

Thí dụ 2: Đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:

X	-2	1	2
P	0,1	0,4	0,5

Tìm phân phối xác suất của Y = X²

Giải: Ta có: khi X = -2 thì Y= (-2)² = 4; khi X = 1 thì Y= 1² = 1;

Khi X = 2 thì Y= 4;

Như vậy: \((Y = 4) = \left[ {(X = - 2) \cup (X = 2)} \right]\)

Do đó: \(P(Y= 4) = P(X= -2) + P(X= 2) = 0,6\)

Và: \(P(Y = 1) = P(X = 1) = 0,4\)

Vậy phân phối xác suất của Y như sau:

Y	1	4
P	0,4	0,6

 

Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) đã biết và Y là hàm số của X: Y = f(X)

Có thể chứng minh được rằng: Nếu Y = f(X) là hàm khả vi, đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm, có hàm ngược là \(x = \psi (y)\) thì hàm mật độ xác suất \(\varphi (y)\) của đại lượng ngẫu nhiên Y được xác định bằng biểu thức: 

\(\varphi (y) = f\left[ {\psi (y)} \right]\left| {\psi '(y)} \right|\)

Nếu ứng với mỗi cặp giá trị có thể nhận của hai đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều (X, Z) qua hàm \(Y = \varphi (X,Z)\) ta có một giá trị có thể nhận của đại lượng ngẫu nhiên Y thì Y được gọi là hàm của 2 đại lượng ngẫu nhiên X và Z

\(Y = \varphi (X,Z)\)

Nếu biết được phân phối xác suất của X và Z, ta có thể tìm được phân phối xác suất của \(Y = \varphi (X,Z)\)

Để tìm các giá trị mà Y có thể nhận và tính các xác suất tương ứng của Y người ta thường tiến hành lập bảng. Để biết cách lập bảng này ta xét một thí dụ sau đây:

Thí dụ: Có 2 máy cùng sản suất một loại chi tiết, tỷ lệ sản phẩm loại A của máy thứ nhất là 0,8; của máy thứ hai là 0,7; Lấy 3 sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất và 1 sản phẩm do máy thứ hai sản xuất để kiểm tra. Tìm phân phối xác suất của số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm lấy ra từ hai máy để kiểm tra.

Giải: Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm lấy ra từ máy thứ nhất để kiểm tra. Dễ thấy rằng X ~ B(3; 0,8). Nên ta dễ dàng tìm được bảng phân phối xác suất của X như sau:

Gọi z là số sản phẩm loại A có trong 1 sản phẩm lấy ra từ máy thứ hai để kiểm tra. z ~ B(l; 0,7). Bảng phân phối xác suất của X như sau:

X	0	1	2	3
P	0,008	0,096	0,384	0,512

Gọi Z là số sản phẩm loại A có trong 1 sản phẩm lấy ra từ máy thứ hai để kiểm tra. \(Z \sim B(1;0,7)\) Bảng phân phối xác suất của Z như sau:

Z	0	1
P	0,3	0,7

Gọi Y là số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm lấy ra từ hai máy để kiểm tra thì:

Y = X + Z

tức Y là hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên X và z.

Để tìm phân phối xác suất của Y, trước hết ta tìm các giá trị mà Y có thể nhận. Muốn vậy ta lập bảng như sau:

X	0	1	2	3
Z
0	0	1	2	3
1	1	2	3	4

Trong bảng trên dòng X ta ghi các giá trị mà X có thể nhận, (trong thí dụ ta đang xét, X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3)

Cột z ghi các giá trị mà z có thể nhận. Trong thí dụ này, z chỉ có thể nhận một ưong hai giá trị: 0 hoặc 1;

Các ô còn lại ta ghi các giá trị mà Y có thể nhận. Để xác định các giá trị này ta căn cứ vào biểu thức của hàm biểu diễn mối quan hệ giữa Y với X và Z, trong thí dụ ta đang xét biểu thức hàm này có dạng: Y = X + Z, đồng thời căn cứ vào giá trị của X và Z ở cột và dòng tương ứng.

Chẳng hạn: Y nhận giá trị 0 khi X = 0 đồng thời Z = 0;

Y=1 khi X = 0 đồng thời Z = 1 hoặc X = 1 đồng thời Z = 0 (tương ứng với hai trường hợp này trên bảng có hai ô ghi số 1)

......

Vậy các giá trị mà Y có thể nhận là: 0, 1, 2, 3,4.

Ta có thể biểu diễn việc phân tích ở trên dưới dạng tổng và tích các biến cố như sau:

\((Y= 0) = [(X = 0)(Z = 0)]\)

\((Y= 1) = [(X = 0)(Z = 1)] \cup [(X = 1)(Z = 0)]\)

\((Y= 2) = [(X = 2)(Z = 0)] \cup [(X = 1)(Z = 1)]\)

\((Y= 3) = [(X = 2)(Z = 1)] \cup [(X = 3)(Z = 0)]\)

\((Y= 4) = [(X = 3)(Z =1)]\)

Áp dụng công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất, ta tính các xác suất tương ứng với các giá trị của Y như sau:

\(P(Y = 0) = P(X = 0).P(Z = 0) = 0,08. 0,3 = 0,0024\)

\(P(Y = 1) = P(X = 0).P(Z = 1) + P(X = 1).P(Z = 0)\)

\(= 0,008. 0,7 + 0,096. 0,3 = 0,0344\)

\(P(Y = 2) = P(X = 2).P(Z = 0) + P(X = 1).P(Z = 1)\)

\(= 0,384. 0,3 + 0,096. 0,7 = 0,1824\)

\(P(Y = 3) = P(X = 2).P(Z = 1) + P(X = 3).P(Z = 0)\)

\(= 0,384. 0,7 + 0,512. 0,3 = 0,4224\)

\(P(Y = 4) = P(X = 3).P(Z = 1) = 0,512. 0,7 = 0,3584 \)

Vậy ta có phân phối xác suất của Y như sau:

Y	0	1	2	3	4
P	0,0024	0,0344	0,1824	0,4224	0,3584

Trường hợp X, Z là đại lượng ngẫu nhiên liên tục:

Có thể chứng minh được rằng: hàm mật độ xác suất \(\varphi (y)\) của Y (Y = X + Z) được xác định theo công thức:

\(\varphi (y) = \int\limits_{ - \infty }^y {{f_1}(x){f_2}(y - x)dx} \) hoặc \(\int\limits_{ - \infty }^y {{f_1}(y - z){f_2}(z)dz} \)

f₁ và f₂ là các hàm mật độ xác suất của X và Z tương ứng [với điều kiện là khi một trong 2 hàm này xác định trong khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) bằng một biểu thức]

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối xác suất như sau:

X	x1	x2	....	xn
P	p1	p2	....	pn

Ta cần tìm kỳ vọng toán và phương sai của đại lượng ngẫu nhiên \(Y\left[ {Y = \varphi (X)} \right]\). Các tham số đặc trưng này được xác định bằng các công thức sau:

\(E(Y) = E\left[ {\varphi (X)} \right] = \sum\limits_{i = 1}^n {\varphi ({x_i}){p_i}} \)

\(V{\rm{ar}}(Y) = V{\rm{ar}}\left[ {\varphi (X)} \right] = \sum\limits_{i = 1}^n {{\varphi ^2}({x_i}){p_i}} - {\left[ {E(Y)} \right]^2}\)

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất là f(x) thì kỳ vọng toán và phương sai của đại lượng ngẫu nhiên \(Y = \varphi (X)\) được xác định bằng công thức:

\(E(Y) = E\left[ {\varphi (X)} \right] = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\varphi (x)f(x)dx} \)

\(V{\rm{ar}}(Y) = V{\rm{ar}}\left[ {\varphi (X)} \right] = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{\varphi ^2}(x)f(x)dx} - {\left[ {E(Y)} \right]^2}\)