Bài 2: Các tham số đặt trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

Kỳ vọng toán và phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần được xác định bằng các công thức sau đây:

• Nếu (X, Y) rời rạc thì:

\(E(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {{x_i}{p_{{\rm{ij}}}}} } ;\,\,\,\,\,\,\,E(Y) = \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}{p_{{\rm{ij}}}}} } \)

\(\begin{array}{l} {\mathop{\rm var}} (X) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {x_i^2{p_{{\rm{ij}}}}} } \,\,\, - {\left[ {E(X)} \right]^2}\,\,\,\\ {\mathop{\rm var}} (Y) = \sum\limits_{j = 1}^m {\sum\limits_{i = 1}^n {y_j^2{p_{{\rm{ij}}}}} } - {\left[ {E(Y)} \right]^2} \end{array}\)

• Nếu (X, Y) liên tục thì:

\(E(X) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x,y)dxdy;\,\,\,\,} } E(Y) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {yf(x,y)dxdy\,\,\,} } \)

\(\begin{array}{l} {\mathop{\rm var}} (X) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{x^2}f(x,y)dxdy - \left[ {E(X)} \right]{\,^2}\,\,\,} } \\ {\mathop{\rm var}} (X) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{y^2}f(x,y)dxdy - {{\left[ {E(Y)} \right]}^2}\,\,\,} } \end{array}\)

Hiệp phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y [ký hiệu là cov(X, Y)] được định nghĩa như sau:

\({\mathop{\rm cov}} (X,Y) = E\left\{ {\left[ {X - E(X)} \right].\left[ {Y - E(Y)} \right]} \right\} = E(XY) - E(X)E(Y)\)

• Nếu (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc thì:

\({\mathop{\rm cov}} (X,Y) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m {{x_i}{y_j}{p_{{\rm{ij}}}}} } - E(X)E(Y)\)

• Nếu (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều liên tục thì:

\({\mathop{\rm cov}} (X,Y) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x{\rm{yf}}(x,y)dxdy} } - E(X)E(Y)\)

• Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì:

\(cov(X, Y)=0\)

Thật vậy, Nếu X, Y độc lập thì E(XY) = E(X)E(Y)

Khi đó ta có: \(cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0\)

Nếu cov(X, Y) = 0 ta nói X và Y không tương quan, ngược lại, nếu \({\mathop{\rm cov}} (X,Y) \ne 0\) ta nói X và Y có tương quan, khi đó X, Y là hai biến ngẫu nhiên không độc lập.

• \(cov(X,X)=var(X)\)
• \(cov(X,Y)=cov(Y,X)\)

Hệ số tương quan [ký hiệu là \({\rho _{XY}}\)] được định nghĩa như sau:

\({\rho _{XY}} = \frac{{{\mathop{\rm cov}} (X,Y)}}{{{\sigma _X}{\sigma _Y}}}\)

trong đó:

\({{{\sigma _X}{\sigma _Y}}}\) tương ứng là độ lệch chuẩn của X và Y

Có thể chứng minh:

• \(\left| {{\rho _{XY}}} \right| \le 1\)
• \(var\left( {aX \pm bY} \right) = {a^2}var\left( X \right) + {b^2}var\left( Y \right) \pm 2abcov\left( {X,Y} \right)\)

Thí dụ: Lãi suất hàng năm của trái phiếu T và cổ phiếu s của một công ty cho ở bảng sau:

Nếu muốn đầu tư vào cả trái phiếu và cổ phiếu thì nên đầu tư theo tỷ lệ bao nhiêu để:

• Lãi suất kỳ vọng thu được là lớn nhất.
• Mức độ rủi ro về lãi suất là nhỏ nhất.

Giải: Từ bảng trên, ta tính được:

\(E(T) = 6 x 0,2 + 8 x 0,6 + 10 x 0,2 = 8\)

\(Var(T) = 6^2x 0,2 + 8^2x 0,6 + 10^2x 0,2 - 8^2 = 1,6\)

Tương tự:

\(E(S) = -10 x 0,1 + 10 x 0,4 + 20 x 0,3 = 9\)

\(Var(S) = (-10)^2x 0,1 + 10^2x 0,4 + 20^2x 0,3 - 9^2 = 89\)

Cov(T, S) = (-10) x 10 x 0,1 + 6 x 10 x 0,1 + 8 x 10 x 0,3 + 6 x 20 x 0,1 + 8 x 20 x 0,2 - 8 x 9 = - 8

Gọi p là tỷ lệ đầu tư cho trái phiếu \((0 \le p\le 1) \) và gọi X là lãi suất thu được khi đầu tư vào cả trái phiếu và cổ phiếu thì:

\(X = pT + (1-p)S\)

Vậy:

\(E(X) = pE(T) + (1-p)E(S) = 8p + 9(1-p) = 9 - p\)

Ta thấy E(X) đạt cực đại khi p = 0, tức đầu tư toàn bộ vào cổ phiếu thì lãi suất kỳ vọng thu được là lớn nhất.

Độ rủi ro về lãi suất được biểu thị ở phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) của X.

Ta có:

\(var(X) = p^2 var(T) + (1-p)^2 var(S) + 2p(1-p)cov(T, S)\)

\(= 1,6p^2 + 89(1-p)^2 + 2p(1-p)(-8)\)

\(= 106,6p^2 - 194p + 89 = f(p)\)

var(X) sẽ đạt cực tiểu khi p = 0,91. Tức nên đầu tư vào trái phiếu với tỷ lệ 91% và tỷ lệ đầu tư vào cổ phiếu là 9% thì độ rủi ro về lãi suất là nhỏ nhất.

Ta gọi ma trận sau đây là ma trận hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X,Y:

\(\left( \begin{array}{l} {\mathop{\rm cov}} (X,X)\,\,\,\,{\mathop{\rm cov}} (X,Y)\\ {\mathop{\rm cov}} (Y,X)\,\,\,\,{\mathop{\rm cov}} (Y,Y) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} v{\rm{ar(X)}}\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{cov(X,Y)}}\\ {\mathop{\rm cov}} (Y,X)\,\,\,\,\,\,v{\rm{ar}}(Y) \end{array} \right)\)

Vì cov(X, Y) = cov(Y, X) nên ma trận hiệp phương sai là ma trận đối xứng

Nếu X, Y không tương quan thì cov(X, Y) = cov(Y, X) = 0, khi đó ma ưận hiệp phương sai là ma trận đường chéo.