Bài 3: Phân phối xác suất có điều kiện và kỳ vọng toán có điều kiện

Khi cho X = x_k hoặc Y = y_k cố định, ta có thể tính được các xác suất có điều kiện theo các công thức sau:

• \(P(X = {x_i}/Y = {y_k}) = \frac{{P\left[ {(X = {x_i})(Y = {y_k})} \right]}}{{P(Y = {y_k})}} = \frac{{{p_{ik}}}}{{{q_k}}};\,\,\,i = \overline {1,n} \)
• \(P(Y = {y_j}/X = {x_k}) = \frac{{P\left[ {(X = {x_k})(Y = {y_j})} \right]}}{{P(X = {x_k})}} = \frac{{{p_{kj}}}}{{{p_k}}};\,\,\,j = \overline {1,m} \)

Từ đó ta có thể tìm được phân phối xác suất có điều kiện của X (hoặc của Y)

Ta ký hiệu:

\(P(X= x_i/Y= y_k) = P(X= x_i/ y_k); \,\,\,\,P(Y= y_j/X= x_k) = P(Y= y_j/ x_k)\)

Phân phối xác suất có điều kiện của X (điều kiện là Y = y_k)

Kỳ vọng toán có điều kiện của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X với điều kiện Y = y_k [ký hiệu là E(X/y_k)] được định nghĩa như sau:

\(E(X/{y_k}) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}P(X = {x_i}/{y_k})} \)

Tương tự, ta có kỳ vọng toán có điều kiện của Y (điều kiện X = x_k)

\(E(Y/{x_k}) = \sum\limits_{j = 1}^m {{y_i}P(X = {y_i}/{x_k})} \)

Thí dụ: Cho biết bảng phân phôi xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y), trong đó X là doanh thu và Y là chi phí quảng cáo của các công ty tư nhân kinh doanh cùng một mặt hàng như sau (đơn vị tính của X và Y đều là triệu đồng/tháng)

Từ bảng trên ta có:

\(P(X = 100/Y = 0) = \frac{{P\left[ {(X = 100)(Y = 0)} \right]}}{{P(Y = 0)}} = \frac{{0,1}}{{0,2}} = 0,5\)

Tính tương tự ta được:

\(P(X = 150/Y = 0) = \frac{{0,05}}{{0,2}} = 0,25;\,\,\,P(X = 200/Y = 0) = 0,25\)

Vậy phân phối có điều kiện của X (điều kiện là Y = 0) như sau:

Từ bảng phân phôi xác suất có điều kiện ở trên, ta tính được kỳ vọng toán có điều kiện:

E(X/Y=0) = 100 x 0,5 + 150 x 0,25 + 200 x 0,25 = 137,5

Kết quả này cho biết doanh thu trung bình của những công ty không quảng cáo (Y = 0) là 137,5 triệu đồng/tháng.

Tính tương tự ta được

Phân phối có điều kiện của X (điều kiện là Y= 2) như sau:

E(X/Y= 2) = 150 x 0,25 + 200 x 0,75 = 187,5

Kết quả này cho biết doanh thu trung bình của những công ty có chi phí quảng cáo ở mức 2 triệu đ/tháng là 187,5 triệu đồng/tháng.

• Hiệp phương sai của (X, Y):

\({\mathop{\rm cov}} (X,Y) = \sum\limits_i {\sum\limits_j {{x_i}{y_j}{p_{{\rm{ij}}}} - E(X).E(Y)} } \)

\(= {\rm{ }}100{\rm{ }}x{\rm{ }}0{\rm{ }}x{\rm{ }}0,1{\rm{ }} + {\rm{ }}150{\rm{ }}x{\rm{ }}0{\rm{ }}x{\rm{ }}0,05{\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}200\,x{\rm{ }}2x{\rm{ }}0,3{\rm{ }} - 167,5\,x{\rm{ }}1,2{\rm{ }} = {\rm{ }}215 - 201{\rm{ }} = {\rm{ }}14\)

• Hệ số tương quan giữa 2 biến X và Y:

\({\sigma _{XY}} = \frac{{{\mathop{\rm cov}} (X,Y)}}{{{\sigma _X}{\sigma _Y}}} = \frac{{14}}{{36,3146\,x\,0,7483}} = 0,5153\)

Nếu X, Y không độc lập, hay \(f\left( {x,{\rm{ }}y} \right) \ne {f_1}\left( x \right).{f_2}\left( y \right)\)

Ta gọi: \(f\left( {x,{\rm{ }}y} \right) = \frac{{f(x,y)}}{{{f_2}(y)}}\)

là hàm mật độ có điều kiện của X (điều kiện là Y= y)

Tương tự

\(f\left( {y/x} \right) = \frac{{f(x,y)}}{{{f_1}(y)}}\)

là hàm mật độ có điều kiện của Y (điều kiện là X= x)

Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:

\(E(Y/X = x) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {yf(y/x)dy} \)

\(E(X/Y = y) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x/y)dx} \)

Hàm hồi qui của Y đối với X là kỳ vọng toán có điều kiện của Y (điều kiện là X = x)

\(f(x) = E(Y/X = x)\)

f(x) cho biết giá trị trung bình của Y sẽ thay đổi như thế nào khi X nhận các giá trị khác nhau.

Tương tự, hàm hồi qui của X đối với Y là kỳ vọng toán có điều kiện của X (điều kiện là Y= y)

\(f(y) = E(X/Y = y)\)

f(y) cho biết giá trị trung bình của X sẽ thay đổi như thế nào khi Y nhận các giá trị khác nhau.