Bài 3: Tích của vectơ với một số

1.1. Định nghĩa của một vectơ và một số

Xem hình vẽ minh họa và ta có các nhận xét sau:

Xét hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ta nhận thấy rằng:

Chúng có giá song song với nhau và cùng hướng, độ lớn về chiều dài của $\overrightarrow{b}$ gấp 2 lần độ lớn chiều dài của $\overrightarrow{a}$

Lúc đó, ta viết rằng: $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}$

Xét đến hai vectơ $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{d}$ ta có nhận xét:

Chúng có giá song song và ngược hướng, độ lớn về chiều dài của $\overrightarrow{d}$ gấp 3 lần độ lớn chiều dài của $\overrightarrow{c}$

Lúc đó, ta viết rằng: $\overrightarrow{d}=-3\overrightarrow{c}$

Định nghĩa:

Tích của vectơ $\overrightarrow{a}$ với số thực k là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$, được xác định như sau:

• Nếu $k\ge 0$ thì vectơ $k\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.
• Nếu $k<0$ thì vectơ $k\overrightarrow{a}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.
• Độ dài của vectơ $k\overrightarrow{a}$ bằng $|k|.|\overrightarrow{a}|$.

Chúng ta cùng xem qua hình ảnh sau:

Một cách tổng quá, ta có:

Vectơ $\overrightarrow{b}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$

Ứng dụng vào ba điểm thẳng hàng:

Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$

Dựa vào hình trên, ta có định lí sau:

Cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Khi đó mọi vectơ $\overrightarrow{x}$ đều có thể hiển thị một cách duy nhất qua hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, nghĩa là có cặp số duy nhất m và n sao cho:

$\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$

Bài 1: 

Cho tam giác OAB vuông cân với $OA=OB=a$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$; $3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}$

Hướng dẫn:

Do tam giác OAB vuông cân tại O có cạnh là a. Dễ dàng tính được $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$

Độ lớn của $|\overrightarrow{OD}|$=$a\sqrt{2}$

Tương tự, ta tính $3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}$

Nhận thấy rằng $3|\overrightarrow{OA}|=3a;4|\overrightarrow{OB}|=4a$

Theo quy tắc hình bình hành và theo hình vẽ, ta có $3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$

Độ lớn của $|\overrightarrow{OC}|=5a$ theo định lý Pytago.

Bài 2: 

Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có hệ thức: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$

Hướng dẫn:

Đề yêu cầu cần chứng minh $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$

Ta viết lại: $\iff \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}\Rightarrow dpcm$

Bài 3: 

Cho hình chữ nhật có $AB=5cm$, $BC=10cm$. Tính $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}|$.

Hướng dẫn:

Như hình trên, chúng ta có thể viết lại như sau:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$

Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}|=2|\overrightarrow{AC}|$

Bằng Pytago, ta dễ dàng tính toán được $2|\overrightarrow{AC}|=10\sqrt{5}(cm)$

Bài 4: 

Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc đoạn BC sao cho $MB=2MC$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

Hướng dẫn: 

Theo giả thiết, $MB=2MC$.

Trên AB lấy điểm D sao cho $AD=\frac{1}{3}AB$, trên AC lấy điểm E sao cho $CE=\frac{1}{3}AC$

Vậy, theo đề được viết lại như sau: $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD};\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$

Cần chứng minh ADME là hình bình hành.

Thật vậy, với tỷ lệ đề cho, ta tìm được các cặp cạnh đối song song nhờ định lí Thales đảo.

Vậy: $\{\begin{array}{c}AD//ME\\ AE//DM\end{array}$ hay ADME là hình bình hành

Nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

Ta đã biết thế nào là tổng và hiệu của hai vectơ. Bây giờ lấy vectơ a cộng với chính nó thì ta sẽ được 2 lần vectơ a. Bài học này sẽ giúp các em hiểu được tích của vectơ và một hằng số có phải là một vectơ khác không?

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 1 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho đoạn thẳng AB có trung điểm M. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  

   

  • A. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}$
  • B. $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BM}$
  • C. $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}$
  • D. Mọi điểm C thuộc đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB ta luôn có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$

• Câu 2:

  Tìm khẳng định sai:

   

  • A. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác $\overrightarrow{0}$ thì cùng phương
  • B. Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác $\overrightarrow{0}$ thì cùng phương
  • C. Ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ khác $\overrightarrow{0}$ đôi một cùng phương thì ít nhất có hai vectơ cùng phương
  • D. Để $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng nhau thì $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$

• Câu 3:

  Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề sai là?

  

  • A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
  • B. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
  • C. $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$
  • D. $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}$

• Câu 4:

  Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Vectơ $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}$ có độ dài là?

  

   

  • A. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
  • B. $\frac{a\sqrt{5}}{2}$
  • C. $\frac{a\sqrt{7}}{2}$
  • D. $\frac{3a}{2}$

• Câu 5:

  Cho hình bình hành ABCD có $AD=2cm,AB=4cm,BD=5cm$. Giá trị của $|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DA}|$ là:

  

  • A. $3cm$
  • B. $4cm$
  • C. $5cm$
  • D. $6cm$

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1.32 trang 32 SBT Hình học 10

Bài tập 1.33 trang 32 SBT Hình học 10

Bài tập 1.34 trang 32 SBT Hình học 10

Bài tập 1.35 trang 32 SBT Hình học 10

Bài tập 21 trang 23 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 22 trang 24 SGK Toán 10 NC

Bài tập 23 trang 24 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 24 trang 24 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 25 trang 24 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 26 trang 24 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 27 trang 24 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 28 trang 24 SGK Hình học 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.