Bài 3: Cơ sở, tọa độ

Ta thấy mọi vectơ $x=(x_1;x_2)\in R^2$ đều là tổ hợp tuyến tính của e₁ = (1;0) và e₂ = (0;1). Ngoài ra e₁, e₂ độc lập tuyến tính. Khi đó, ta nói {e₁,e₂} là một cơ sở của R².

Để ý rằng $x=(x_1;x_2)\in R^2$ cũng là tổ hợp tuyến tính của e₁, e₂ và c = (1; 1) vì

x = (x₁;x₂) = (x₁ - 1).(1;0) + (x₂ - 1).(0;1) +1.(1; 1)

Tuy nhiên, ta không nói e₁, e₂ và v là một cơ sơ của R² vì chúng phụ thuộc tuyên tính.

Ta có định nghĩa cơ sở như sau :

(i) Một hệ các $\left\{v_1,...,v_m\right\}\subset R^n$ gọi là một tập sinh của Rⁿ nếu mọi vectơ của Rⁿ đều là tổ hợp tuyến tính của $\left\{v_1,...,v_m\right\}$

(ii) Một tập sinh độc lập tuyến tính của Rⁿ gọi là một cơ sở của Rⁿ.

Ví dụ: Chứng minh v₁ =(1; 1),v₂ = (1; 2),v₃ =(2; 1) là một tập sinh của R²

Giải:

$x=(x_1;x_2)={\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2+{\alpha }_3{v}_3$

$x=(x_1;x_2)={\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2$

$\iff \{\begin{array}{l}{\alpha }_1+{\alpha }_2=x_1\\ {\alpha }_1=x_2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{\alpha }_2=x_1-x_2\\ {\alpha }_1=x_2\end{array}$

Vậy (x₁; x₂) = x₂.(1;1) + (x₁ - x₂).(1;0)

(ii) Chứng minh {v₁, v₂} độc lập tuyến tính

${\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2=O$

$\iff \{\begin{array}{l}{\alpha }_1+{\alpha }_2=0\\ {\alpha }_1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{\alpha }_2=0\\ {\alpha }_1=0\end{array}$

Vậy {v₁, v₂} là một cơ sở của R²

Như thế, ta thấy Rⁿ có nhiều cơ sở. Tuy nhiên, số vecto của mỗi cơ sở đều bằng n. Khi đó n gọi là số chiều của không gian Rⁿ và ta viết: dim(Rⁿ)=n

Cho $B=\{u_1,u_2,...u_n\}$ là một cơ sở của Rⁿ và $x\in R^n$. Khi đó tồn tại các số thực ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$sao cho 

$x={\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2+...+{\lambda }_n{u}_n$

Ta gọi $({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n)$ hoặc $\left[\begin{array}{l}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ .\\ {\lambda }_n\end{array}\right]$ là tọa độ của vectơ X trong cơ sở B, ký hiệu ${\left[x\right]}_B$

Ví dụ:

Tọa độ của (2;3) trong cơ sở {(1;0),(0;1)} là (2,3) vì: (2; 3) = 2(1; 0) + 3(0; 1)

Tọa độ của (2;3) trong cơ sở {(1;1),(1;0)} là (3,-1) vì (2; 3) = 3(1; 1) - 1(1; 0)

Chú ý: Người ta chứng minh được trong Rⁿ, cứ n vectơ độc lập tuyến tính thì tạo thành một cơ sở. Vì vậy, để chứng minh n vectơ tạo thành một cơ sở của Rⁿ, ta chỉ cần chứng minh chúng độc lập tuyến tính.

Ví dụ: v₁ = (1;2), v₂ = (2; 1), v₃ = (3;4) có tạo thành một cơ sở của R² không?

Giải: Không, vì cơ sở của R² phải có đúng 2 vectơ.

Ví dụ: Cho v₁=(1;2;3), v₂ = (1;2:0), v₃ =(1;0;0)

a. Chứng minh: {v₁, v₂, v₃} thành một cơ sở của không gian R³.

b. Tìm tọa độ của v = (-1;2;-3) trong cơ sở nói trên.

Giải

a. ${\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2+{\alpha }_3{v}_3=0\iff \{\begin{array}{l}{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=0\\ 2{\alpha }_1+2{\alpha }_2=0\\ 3{\alpha }_1=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}{\alpha }_1=0\\ {\alpha }_2=0\\ {\alpha }_3=0\end{array}$

Do đó {v₁, v₂, v₃} là một hệ vecto độc lập tuyến tính trong R³

Vì {v₁, v₂, v₃} gồm ba vecto độc lập tuyến tính trong R³ nên {v₁, v₂, v₃} là một cơ sở của R³

b. $(-1;2;-3)={\alpha }_1(1;2;3)+{\alpha }_2(1;2;0)+{\alpha }_3(1;0;0)$

$\iff \{\begin{array}{l}{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=-1\\ 2{\alpha }_1+2{\alpha }_2=2\\ 3{\alpha }_1=-3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{\alpha }_1=-1\\ {\alpha }_2=2\\ {\alpha }_3=-2\end{array}$

Vậy (-1;2;-3) = -1(1;2;3) + 2(1;2;0) - 2(1;0;0) hay tọa độ của vecto (-1;2;-2) trong cơ sở  {v₁, v₂, v₃} là (-1;2;-2).

Chú ý: Do mọi cơ sở của Rⁿ đều gồm n vecto nên không thể có nhiều hơn n vecto trong Rⁿ độc lập tuyến tính.

Ví dụ: Xét hệ gồm các vecto

v₁ =(1;2;3), v₂=(2;1;0), v₃=(-1;0;1), v₄=(0;2;-2)

Hệ {v₁, v₂, v_3, v₄} độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải:

Vì trong R³ chỉ có tối đa 3 vectơ độc lập tuyến tính nên {v₁, v₂, v_3, v₄} phụ thuộc tuyến tính.