Bài 2: Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính

Cho m, \({v_1},....,{v_m} \in {R^n}\). Vecto

\(v = {\alpha _1}{v_1} + .... + {\alpha _m}{v_m} = \sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}{v_i}} \)với \({a_i} \in R,i = \overline {1,m} \)

được gọi là tổ hợp tuyến tính của \({v_1},....,{v_m}\).

Nếu \({\alpha _i} = 0,\forall i = \overline {1,m} \) thì v được gọi là tổ hợp tuyến tính tầm thường của \({v_1},....,{v_m}\)

Ví dụ: Cho e₁ = (1; 0) và e₂ = (0:1)

v = (2; 3) là một tổ hợp tuyến tính của e₁, e₂ vì

(2; 3) = 2(1; 0) + 3(0:1) = 2e₁ + 3e₂

x = (x₁,x₂) là tổ hợp tuyến tính của e₁, e₂ vì x = x₁e₁ + x₂e₂

Hệ các vectơ \({v_1},....,{v_m} \in R^n\) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của \({v_1},....,{v_m}\) bằng

vectơ \(O \in R^n\) nghĩa là

\(\exists \alpha = ({\alpha _1};{\alpha _2};....;{\alpha _m}) \in {R^m}\backslash {\rm{\{ }}O\} :\sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}} {v_i} = O\)

Nếu hệ các vectơ \({v_1},....,{v_m}\) không phụ thuộc tuyến tính, ta nói chúng độc lập tuyến tính. Hệ các vectơ \({v_1},....,{v_m} \in R^n\) độc lập tuyến tính nếu:

\(\sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}} {v_i} = O \Rightarrow {\alpha _i} = 0,\forall i = \overline {1,m} \)

Nếu một hệ gồm các vectơ phụ thuộc tuyến tính thì trong hệ vectơ đó tồn tại ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

Ví dụ: Các vectơ sau đây độc lập tuyển tính hay phụ thuộc tuyến tính ?

a. v₁= (1;2;3),v2 = (2; 1; 0),v2 = (0;1;-2)

b. v₁ = (2;4),v2 = (-1;-2)

Giải:

a.

\({\alpha _1}{v_2} + {\alpha _2}{v_2} + {\alpha _3}{v_3} = O\)

\(\Leftrightarrow ({\alpha _1};2{\alpha _1};3{\alpha _1}) + (2{\alpha _2};{\alpha _2};0) + (0;{\alpha _3}; - 2{\alpha _3}) = O\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + 2{\alpha _2} = 0\\ 2{\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} = 0\\ 3{\alpha _1} - 2{\alpha _3} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = 0\\ {\alpha _2} = 0\\ {\alpha _3} = 0 \end{array} \right.\)

Vậy {v1, v2, v3} độc lập tuyến tính

b. 

\({\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} = O \Leftrightarrow (2{\alpha _1};4{\alpha _1}) + ( - {\alpha _2}; - 2{\alpha _2}) = O\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{\alpha _1} - {\alpha _2} = 0\\ 4{\alpha _1} - 2{\alpha _2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} \in R\\ {\alpha _2} = 2{\alpha _1} \end{array} \right.\)

Chọn \({\alpha _1} = 1 \Rightarrow {\alpha _2} = 2\,và\,1.{v_1} + 2.{v_2} = O\)

Vậy {v1, v2} phụ thuộc tuyến tính.

Cho hệ m vectơ \(V = \left\{ {{v_1},....,{v_2}} \right\} \subset {R^n}\)

\(D \subset V,D\) được gọi là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V nếu

(i) D độc lập tuyến tính,

(ii) \(\forall x \in V\backslash D,D \cup {\rm{\{ }}x{\rm{\} }}\) là phụ thuộc tuyến tính.

Nếu số vectơ độc lập tuyến tính tối đa (tối đại) của hệ ra vectơ nói trên là k thì ta nói hạng của hệ vectơ là k và ta viết R(v) = k.

Ví dụ: \(R({\rm{\{ }}(1;0),(0;1),(1;1){\rm{\} }}) = 2\)

Chú ý:

Hai vectơ trong R2, R3 phụ thuộc tuyến tính nếu chúng cùng phương.

Ba vectơ trong R3 phụ thuộc tuyến tính nếu chúng đồng phẳng.