Bài 1: Không gian vectơ R

Cho hai tập hợp A. B .

Ta định nghĩa tích Descartes của A và B như sau:

 $AxB=\left\{(x;y)/x\in A,y\in B\right\}$

Khi A = B, A x B ký hiệu là A². Tương tự cho A³, A⁴...

• Tập hợp R" được định nghĩa như sau:

$R^{″}=\left\{x=(x_1;x_2;....x_n)/x_i\in R,i=\overline{1,n}\right\}$

$x=(x_1;x_2;....x_n)$ gọi là vectơ trong R".

• Cho các vectơ

$x=(x_1;x_2;....x_n)\in R^n$ và $y=(y_1;y_2;....y_n)\in R^n$ Ta có : $x=y\iff x_i=y_i,\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$

Ví dụ: Giả sử mỗi buổi sáng ông A đi bộ 3 km, sau đó ăn 1 cái bánh bao và uống 2 ly sữa. Các số liệu trên có thể biểu diễn bởi một vectơ trong R³ là (3; 1;2)

 Vectơ $x=(x_1;x_2;....x_n)$còn được viết là $x=\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ .\\ x_n\end{array}\right)$

• Cho $x,y\in R"$, ta có :

$x+y=z\in R^n$ xác định bởi $z_i=x_i+y_i,\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$

• Cho $\alpha \in R$, ta có $\alpha x\in z$ xác định bởi$z_i=\alpha x_i,\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$

Ví dụ: 2(1; 3;-2) - 5(2; 0; 1)

= (2; 6;-4) + (-10;0;-5)

= (-8;6;-9)

Với $\alpha ,\beta \in R;x,y\in R^n$. Ta có:

$\begin{array}{l}(i)x+y=y+x\\ (ii)(x+y)+z=x+(y+z)\\ (iii)x+O=xvớiO=(0,...,0)\in R^n\\ (iv)x+(-x)=Ovới-x=(-x_1,-x_2,...,-x_n)\in R^n\\ (v)\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y\\ (vi)(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta y\\ (vii)(\alpha \beta )x=\alpha (\beta x)\\ (viii)1.x=x\end{array}$

Tập R" với phép cộng hai vectơ, phép nhân một số thực với một vectơ, thỏa 8 tính chất nêu trên, được gọi là không gian vectơ R''.

• Ta định nghĩa độ dài của vectơ $x\in R^n$ như sau: 

$\Vert x\Vert ={\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)}^{\frac{1}{2}}$

Ví dụ: $\Vert (1;-2;3)\Vert ={\left(1^2+{(-2)}^2+3^2\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{14}$

• Với $x,y\in R^{″}$ ta định nghĩa tích vô hướng của chúng như sau:

$x.y=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$

Ví dụ: (1;-2;3).(2;1:-4) = 1.2 + (-2).1 + 3(-4) = -12

• Nếu x.y = 0, ta nói x và y trục giao với nhau và ta viết

$x\mathrm{\perp }y$

Ví dụ: (1; 0; 0) $\mathrm{\perp }$ (0;1;0) vì (1;0;0).(0;1;0) = 0