Bài tập SGK Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài tập 1 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng với $n\in N\ast$, ta có đẳng thức:

a)  $2+5+8+....+3n-1=\frac{n(3n+1)}{2}$;

b) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}$;

c)  $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

Bài tập 2 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng với n ε  N^*    ta luôn có:

a) $n^3+3n^2+5n$ chia hết cho 3;

b) $4n+15n-1$ chia hết cho 9;

c) $n^3+11n$ chia hết cho 6.

Bài tập 3 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta có các bất đẳng thức:

a) $3^n>3^n+1$                  

b) $2^{n+1}>2n+3$

Bài tập 4 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Cho tổng $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$với n ε  N^{*  .}

a) Tính $S_1,S_2,S_3$_.

b) Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp.

Bài tập 5 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là  $\frac{n(n-3)}{2}$

Bài tập 3.1 trang 107 SBT Toán 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N^∗)

a) $2+5+8+...+\left(3n-1\right)=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}$

b) $3+9+27+...+3^n=\frac{1}{2}\left(3^{n+1}-3\right)$

Bài tập 3.2 trang 107 SBT Toán 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N^∗)

a) Chứng minh $1^2+3^2+5^2+...+{\left(2n-1\right)}^2=\frac{n\left(4n^2-1\right)}{3}$

b) $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}$

Bài tập 3.3 trang 107 SBT Toán 11

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N^∗ ta có:

a) 2n³ − 3n² + n chia hết cho 6.

b) 11^{n + 1} + 12²ⁿ⁻¹ chia hết cho 133.

Bài tập 3.4 trang 107 SBT Toán 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N∗)

a) 2^{n + 2} > 2n + 5;

b) sin²ⁿα + cos²ⁿα ≤ 1.

Bài tập 3.5 trang 107 SBT Toán 11

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

a) 2ⁿ > 2n + 1 ;

b) 2ⁿ > n² + 4n + 5 ;

c) 3ⁿ > 2ⁿ + 7n ?

Bài tập 3.6 trang 107 SBT Toán 11

Cho tổng:

$S_n=\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+...+\frac{1}{\left(4n-3\right)\left(4n+1\right)}$

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄;

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Bài tập 3.7 trang 107 SBT Toán 11

Xét mệnh đề chứa biến P(n): "10^{n - 1} < n + 2017 với n ∈ N∗"

Bằng phép thử ta có P(1), P(2), P(3), P(4) là đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. P(n) đúng với mọi số chẵn n ≤ 4            

B. P(n) đúng với mọi số lẻ n < 4

C. P(n) đúng với mọi số n            

D. P(n) đúng với mọi số n ≤ 4