Bài tập SGK Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số.
-
Bài tập 1 trang 130 SGK Toán 11 NC
Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0:
a) \(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 5}}\)
b) \(\frac{{\sin n}}{{n + 5}}\)
c) \(\frac{{\cos 2n}}{{\sqrt n + 1}}\)
-
Bài tập 2 trang 130 SGK Toán 11 NC
Chứng minh rằng hai dãy số (un) và (vn) với
\({u_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},\,\,\,{v_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n}}{{{n^2} + 1}}\)
Có giới hạn 0.
-
Bài tập 1 trang 121 SGK Đại số & Giải tích 11
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số \((u_n)\).
b) Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là 0.
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6} g\).
-
Bài tập 2 trang 121 SGK Đại số & Giải tích 11
Biết dãy số \((u_n )\) thỏa mãn \(|u_n -1| <\frac{1}{n^{3}}\) với mọi n. Chứng minh rằng lim \(u_n =1\).
-
Bài tập 3 trang 121 SGK Đại số & Giải tích 11
Tìm giới hạn sau:
a) \(lim\frac{6n - 1}{3n +2}\);
b) \(lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}\);
c) \(lim\frac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}\);
d) \(lim\frac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\).
-
Bài tập 4 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu 1, 2, 3, ..., n trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
a) Gọi un là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính \(u_1 , u_2 , u_3\) và \(u_n\).
b) Tính lim\(S_n\) với \(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n\) .
-
Bài tập 5 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Tính tổng \(S = -1 + \frac{1}{10}-\frac{1}{10^{2}}+...+ \frac{(-1)^{n}}{10^{n-1}}\) + ...
-
Bài tập 6 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1, 020 020 ... (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
-
Bài tập 7 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Tính các giới hạn sau:
a) \(lim (n^3 + 2n^2 - n + 1)\);
b) \(lim (-n^2 + 5n - 2)\);
c) \(lim(\sqrt{n^{2}-n}-n)\) ;
d) (\(lim(\sqrt{n^{2}-n}+n)\).
-
Bài tập 8 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho hai dãy số \((u_n)\)và \((v_n)\). Biết \(lim u_n = 3, lim v_n = +\infty .\)
Tính các giới hạn:
a) \(lim\frac{3u_{n}-1}{u_{n}+ 1};\)
b) \(lim\frac{v_{n}+ 2}{v^{2}_{n}-1}\).
-
Bài tập 4.1 trang 156 SBT Toán 11
Biết rằng dãy số () có giới hạn 0. Giải thích vì sao dãy số () với cũng có giới hạn 0. Chiều ngược lại có đúng không?
-
Bài tập 4.2 trang 156 SBT Toán 11
Cho biết dãy số () có giới hạn hữu hạn, còn dãy số () không có giới hạn hữu hạn. Dãy số () có thể có giới hạn hữu hạn không?
