48 bài tập tắc nghiệm về Biểu diễn vectơ Toán 10 có đáp án chi tiết

48 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ BIỂU DIỄN VECTƠ TOÁN 10 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1. Cho tam giác ABC biết  \(AB = 3,BC = 4,AC = 6\), I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Gọi x, y , z là các số thực dương thỏa mãn \(x.\overrightarrow {IA} + y.\overrightarrow {IB} + z.\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).Tính \(P = \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}\)

A. \(P = \frac{3}{4}\).

B. \(P = \frac{{41}}{{12}}\).

C. \(P = \frac{{23}}{{12}}\).

D. \(P = \frac{2}{3}\).

Lời giải

Chọn B

Dựng hình bình hành BDIE như hình vẽ. Khi đó \(\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {ID} = - \frac{{IE}}{{IA}}\overrightarrow {IA} - \frac{{ID}}{{IC}}\overrightarrow {IC} \)

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác : \(\frac{{IE}}{{IA}} = \frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\), \(\frac{{ID}}{{IC}} = \frac{{BN}}{{NC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

Suy ra \(\overrightarrow {IB} = - \frac{{BC}}{{AC}}\overrightarrow {IA} - \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {IC} \).

Từ \(x.\overrightarrow {IA} + y.\overrightarrow {IB} + z.\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) suy ra \(\overrightarrow {IB} = - \frac{x}{y}.\overrightarrow {IA} - \frac{z}{y}.\overrightarrow {IC} \).

Do \(\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IC} \) là hai véc tơ không cùng phương suy ra \(x = 4t,y = 6t,z = 3t\) với t > 0.

Vậy \(P = \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} = \frac{{41}}{{12}}\).

Câu 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm tam giác BCI. Đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AD} \). Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau?

A. \(\overrightarrow {AG} = \frac{5}{6}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b \).

B. \(\overrightarrow {AG} = \frac{5}{6}\overrightarrow a + \overrightarrow b \).

C. \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow a + \frac{5}{6}\overrightarrow b \).

D. \(\overrightarrow {AG} = \frac{4}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b \).

Lời giải

Chọn A

I là trung điểm của CD nên: \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).

G là trọng tâm tam giác BCI nên: \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} \), thay \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) ta được

\(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) \\= \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \).

Câu 3. Cho tam giác ABC với các cạnh \(AB = c,\,\,BC = a,\,\,CA = b\). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng.

A. \(a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

B. \(b\overrightarrow {IA} + c\overrightarrow {IB} + a\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

C. \(c\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + a\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

D. \(c\overrightarrow {IA} + a\overrightarrow {IB} + b\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Lời giải

Chọn A

Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’

Ta có \(\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IA'} + \overrightarrow {IB'} \) (*)

Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có : \(\frac{{IB}}{{IB'}} = \frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}} = \frac{c}{b} \Rightarrow \overrightarrow {IB'} = - \frac{b}{c}\overrightarrow {IB} \,\,\,(1)\)

Tương tự : \(\overrightarrow {IA'} = - \frac{a}{c}\overrightarrow {IA} \,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có : \(\overrightarrow {IC} = - \frac{a}{c}\overrightarrow {IA} - \frac{b}{c}\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

Câu 4. Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn, \(\widehat {ADC} = {30^0}\). Biết DA = a, DC = b, hãy biểu diễn \(\overrightarrow {DB} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {DC} \).

A. \(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} .\).

B. \(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \frac{{b - a\sqrt 3 }}{b}\overrightarrow {DC} .\).

C. \(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \frac{{b - a}}{b}\overrightarrow {DC} .\).

D. \(\overrightarrow {DB} = b\overrightarrow {DA} + a\overrightarrow {DC} .\).

Lời giải

Kẻ BE // AD , E nằm trên cạnh CD. Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DA} + \frac{{DE}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DA} + \frac{{DE}}{{DC}}\overrightarrow {DC} \\ \quad \;\; = \overrightarrow {DA} + \frac{{DC - 2KC}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DA} + \frac{{b - a\sqrt 3 }}{b}\overrightarrow {DC} \end{array}\)

Vậy đáp án đúng là câu B.

Câu 5. Cho hình bình hành ABCD, M là điểm thỏa mãn \(5\overrightarrow {AM} + 2\overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \). Trên các cạnh AB, BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho MP // BC. Gọi N là giao điểm của AQ và CP. Giá trị của tổng \(\frac{{AN}}{{AQ}} + \frac{{CN}}{{CP}}\) bằng:

A. \(\frac{{21}}{{19}}\).

B. \(\frac{{24}}{{19}}\).

C. \(\frac{{23}}{{19}}\).

D. \(\frac{{25}}{{19}}\).

Lời giải

Chọn D

Đặt \(\overrightarrow {AN} = x\overrightarrow {AQ} {\rm{ , }}\overrightarrow {CN} = y\overrightarrow {CP} \)

Vì \(MQ//AB,\;MP//BC \Rightarrow \frac{{BQ}}{{BC}} = \frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{2}{5}\)

Ta có:

\(\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BQ} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AP} \)

Nên \(\overrightarrow {AN} = x\overrightarrow {AQ} = \frac{2}{5}x\overrightarrow {AC} + \frac{3}{2}x\overrightarrow {AP} \,\;\;(1)\)

Do N, C, P thẳng hàng nên \(\frac{2}{5}x + \frac{3}{2}x = 1 \Rightarrow x = \frac{{10}}{{19}}\)

Mặt khác

\(\overrightarrow {CN} = y\overrightarrow {CP} \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} = y(\overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AC} ) \Rightarrow \overrightarrow {AN} = (1 - y)\overrightarrow {AC} \; + y\overrightarrow {AP} \;\;(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(y = \frac{3}{2}x = \frac{{15}}{{19}}\).

Do đó \(\frac{{AN}}{{AQ}} + \frac{{CN}}{{CP}} = x + y = \frac{{25}}{{19}}\).

 

---Để xem tiếp nội dung câu 6 đến câu 48 và đáp án của đề thi, các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung 48 bài tập tắc nghiệm về Biểu diễn vectơ Toán 10 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.