TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN TOÁN 10
1. Phương sai
Kí hiệu \(s_x^2\)
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất
\(s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + {n_2}{{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}} \right]\)
\( = {f_1}{({x_1} - \overline x )^2} + {f_2}{({x_2} - \overline x )^2} + ... + {f_k}{({x_k} - \overline x )^2}.\)
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
\(s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({c_1} - \overline x )}^2} + {n_2}{{({c_2} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({c_k} - \overline x )}^2}} \right]\)
\( = {f_1}{({c_1} - \overline x )^2} + {f_2}{({c_2} - \overline x )^2} + ... + {f_k}{({c_k} - \overline x )^2}.\)
Trong đó \({n_i},\,{f_i},\,{c_i}\) lần lượt là tần số, tần suất, giái trị đại diện của lớp thứ i; n là số các số liệu thống kê; \(\overline x \) là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho
Chú ý: Có thể tính theo công thức sau: \(s_x^2 = \overline {{x^2}} - {\left( {\overline x } \right)^2}\)
Trong đó \(\overline {{x^2}} \) = \(\frac{1}{n}\left[ {{n_1}x_1^2 + {n_2}x_2^2 + ... + {n_k}x_k^2} \right] = {f_1}x_1^2 + {f_2}x_2^2 + ... + {f_k}x_k^2\) (đối với bảng phân bố tần số, tần suất)
hoặc \(\overline {{x^2}} \) = \(\frac{1}{n}\left[ {{n_1}c_1^2 + {n_2}c_2^2 + ... + {n_k}c_k^2} \right] = {f_1}c_1^2 + {f_2}c_2^2 + ... + {f_k}c_k^2\) (đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp)
Ý nghĩa phương sai
- Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình).
- Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng bé.
2. Độ lệch chuẩn
Khi chú ý đơn vị đo ta thấy phương sai \(s_x^2\) có đơn vị đo là bình phương của đơn vị đo được nghiên cứu ( đơn vị đo nghiên cứu là cm thì \(s_x^2\) là cm2), để tránh tình trạng này ta dùng căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn.
Độ lệch chuẩn, kí hiệu là sx
\({s_x} = \sqrt {s_x^2} \)
Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đó với dấu hiệu X được nghiên cứu.
3. Bài tập mẫu
Dạng 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn đối với bảng phân bố tần số, tần suất.
Phương pháp:
- Lập bảng phân bố tần số, tần suất
- Áp dụng công thức:
Phương sai \(s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + {n_2}{{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}} \right]\)
Độ lệch chuẩn \({s_x} = \sqrt {s_x^2} \)
Bài tập 1: Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một loại sản phẩm mới. người điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm ( thang điểm 100) kết quả như sau:
80 65 51 48 45 61 30 35 84 83 60 58 75 72
68 39 41 54 61 72 75 72 61 58 65
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét gì về các kết quả nhận được.
Giải
Ta lập bảng phân bố tần số như sau:
| Điểm | 30 35 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68 72 75 80 83 84 |
| Tần số | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 1 1 |
Ta có:
\(\begin{array}{l} \overline x = \frac{1}{n}\left( {{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}} \right)\\ \,\,\,\, = \frac{1}{{25}}\left( {1.30 + 1.35 + 1.39 + 1.41 + 1.45 + 1.48 + 1.50 + 1.51 + 1.54 + 1.58 + 1.60 + 3.61 + 2.65 + 1.68 + 3.72 + 2.75 + 1.80 + 1.83 + 1.84} \right) = 60,2 \end{array}\)
Phương sai: \(s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + {n_2}{{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}} \right] = 216,8\)
Độ lệch chuẩn \({s_x} = \sqrt {s_x^2} = \sqrt {216,8} = 14,724\)
Nhận xét: mức độ chênh lệch điểm giữa các giá trị là khá lớn
Bài tập 2: sản lượng lúa ( đv tạ) của 40 thửa ruộng thí nghệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây:
| Sản lượng | 20 21 22 23 24 |
| Tần số | 5 8 11 10 6 |
a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Giải
a) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:
\(\overline x = \frac{1}{{40}}\left( {5.20 + 8.21 + 11.22 + 10.23 + 6.24} \right) = 22,1\,\) (tạ)
Phương sai:
\(s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + {n_2}{{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}} \right] = 1,54\)
Độ lệch chuẩn:
\({s_x} = \sqrt {s_x^2} = \sqrt {1,54} = 1,24\) (tạ)
---Để xem tiếp nội dung tài liệu các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính---
Trên đây là một phần nội dung Tổng hợp lý thuyết và các dạng bài tập về Phương sai và độ lệch chuẩn Toán 10. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh lớp 10 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập .
Chúc các em học tập tốt!
