HD GIẢI MỘT SỐ CÂU KHÓ TRONG ĐỀ THI
THPT QUỐC GIA 2017 MÔN TOÁN MÃ ĐỀ 101
Câu 35: Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/ năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
A. 13 năm. B. 14 năm. C. 12 năm. D. 11 năm.
Video hướng dẫn giải chi tiết câu 35:
Gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất \(r\% \) (sau mỗi kì hạn không rút tiền lãi ra)
Gọi \({A_n}\) là số tiền có được sau n năm.
Sau 1 năm: \({A_1} = a + \frac{r}{{100}}.a = a(1 + \frac{r}{{100}})\)
Sau 2 năm: \({A_2} = a(1 + \frac{r}{{100}}) + a(1 + \frac{r}{{100}}).\frac{r}{{100}} = a{(1 + \frac{r}{{100}})^2}\)
Sau 3 năm: \({A_3} = a{(1 + \frac{r}{{100}})^2} + a{(1 + \frac{r}{{100}})^2}.\frac{r}{{100}} = a{(1 + \frac{r}{{100}})^3}\)
.................
Sau n năm: \({A_n} = a{(1 + \frac{r}{{100}})^n}\)
Người đó nhận được số tiền hơn 100 triệu suy ra:
\(100 = 50{(1 + 0,06)^n} \Leftrightarrow 2 = 1,{06^n} \Leftrightarrow n = {\log _{1,06}}2 \approx 12\) (năm).
Câu 41: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v\) (km/h) phụ thuộc thời gian \(t\) (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
.jpg)
A. \(s = 23,25(km)\) B. \(s = 21,58(km)\)
C. \(s = 15,50(km)\) D. \(s = 13,83(km)\)
Video hướng dẫn giài chi tiết câu 41
Đáp án B
Giả sử parabol có phương trình: \(y = a{x^2} + bx + c,(a \ne 0)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4 = c\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\a = \frac{{ - b}}{4}\\{b^2} - 5b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 5}}{4}\\b = 5\\c = 4\end{array} \right.\) , (vì \(a \ne 0\) nên \(b \ne 0\) )
\( \Rightarrow y = \frac{{ - 5}}{4}{x^2} + 5x + 4\)
Tại \(x = 1 \Rightarrow y = 7,75\)
\( \Rightarrow v(t) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 5}}{4}{t^2} + 5t + 4,(0 \le t \le 1)\\7,75(1 < t \le 3)\end{array} \right.\)
Vậy quãng đường vật di chuyển được trong 3 giờ là:
\(s = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ - 5}}{4}{t^2} + 5t + 4} \right)dt + \int\limits_1^3 {7,75dt \approx 21,58} } \) (m).
Câu 47: Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - xy}}{{x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = x + y.\)
A. \({P_{\min }} = \frac{{9\sqrt {11} - 19}}{9}\) B. \({P_{\min }} = \frac{{9\sqrt {11} + 19}}{9}\)
C. \({P_{\min }} = \frac{{18\sqrt {11} - 29}}{{21}}\) D. \({P_{\min }} = \frac{{2\sqrt {11} - 3}}{3}\)
Video hướng dẫn giải chi tiết câu 47
Đáp án D
Điều kiện: \(xy < 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _3}\frac{{1 - xy}}{{x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4 \Leftrightarrow 1 + {\log _3}(1 - xy) + (3 - 3xy) = {\log _3}(x + 2y) + x + 2y\\ \Leftrightarrow {\log _3}(3 - 3xy) + 3 - 3xy = {\log _3}(x + 2y) + x + 2y,(1)\end{array}\)
Xét hàm số: \(f(t) = {\log _3}t + t\) trên \((0; + \infty )\) thì \(f(t)\) luông đồng biến
Phương trình (1) có dạng: \(f(3 - 3xy) = f(x + 2y) \Leftrightarrow 3 - 3xy = x + 2y \Leftrightarrow x = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}}\)
\( \Rightarrow P = x + y = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}} + y\)
Khảo sát hàm số \(g(y) = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}} + y\) trên \((0; + \infty )\)
Có: \(g'(y) = \frac{{9{y^2} - 6y - 10}}{{{{(3y + 1)}^2}}},g'(y) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{3}\) (vì y>0).
Bảng biến thiên của \(g(y)\):
.PNG)
Từ bảng biến thiên ta thấy: \({P_{\min }} = g\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{3}} \right) = \frac{{ - 3 + 2\sqrt {11} }}{3}.\)
Câu 49: Cho hàm số \(y = f(x)\). Đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) như hình bên. Đặt \(h(x) = 2f(x) - {x^2}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(h(4) = h( - 2) > h(2).\)
B. \(h(4) = h( - 2) < h(2).\)
C. \(h(2) > h(4) > h( - 2).\)
D. \(h(2) > h( - 2) > h(4).\)
Đáp án C
.PNG)
Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm (2;2) và (4;4), d có dạng: y=ax+b
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 2\\4a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\)
Suy ra phương trình của d là: y=x
Theo đề bài ta có:
\(h(x) = 2f(x) - {x^2} \Rightarrow h'(x) = 2f'(x) - 2x = 2\left[ {f'(x) - x} \right]\)
\(\begin{array}{l}\int\limits_2^4 {h'(x)dx} = \int\limits_2^4 {2[f'(x) - x{\rm{]}}dx} = - 2\int\limits_2^4 {\left[ {x - f'(x)} \right]dx} \\ \Leftrightarrow \left. {h(x)} \right|_2^4 = - 2{S_1} \Leftrightarrow h(4) - h(2) = - 2{S_1} < 0\\ \Rightarrow h(2) > h(4)\,\,\,(1)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 2}^4 {h'(x)dx} = \int\limits_{ - 2}^4 {2\left[ {f'(x) - x} \right]dx} = 2\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f'(x) - x} \right]dx} + 2\int\limits_2^4 {\left[ {f'(x) - x} \right]dx} \\ \Rightarrow \int\limits_{ - 2}^4 {h'(x)dx} = 2\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f'(x) - x} \right]dx} - 2\int\limits_2^4 {\left[ {x - f'(x)} \right]dx} \\ \Leftrightarrow \left. {h(x)} \right|_{ - 2}^4 = 2({S_2} - {S_1}) \Leftrightarrow h(4) - h( - 2) = 2({S_2} - {S_1}) > 0\\ \Rightarrow h(4) > h( - 2)\end{array}\)
