SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2009 – 2010
| Đề chính thức Môn thi: TOÁN LỚP 9 - BẢNG A Thời gian làm bài: 150 phút |
Câu 1. (4,5 điểm):
a) Cho hàm số \(f(x) = {({x^3} + 12x - 31)^{2010}}\)
Tính \(f(a)\) tại \(a = \sqrt[3]{{16 - 8\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{16 + 8\sqrt 5 }}\)
b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: \(5({x^2} + xy + {y^2}) = 7(x + 2y)\)
Câu 2. (4,5 điểm):
a) Giải phương trình: \({x^2} = \sqrt {{x^3} - {x^2}} + \sqrt {{x^2} - x} \)
b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\\ \frac{2}{{xy}} - \frac{1}{{{z^2}}} = 4 \end{array} \right.\)
Câu 3. (3,0 điểm):
Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A = \frac{1}{{{x^3} + {y^3} + 1}} + \frac{1}{{{y^3} + {z^3} + 1}} + \frac{1}{{{z^3} + {x^3} + 1}}\)
Câu 4. (5,5 điểm):
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:
a) \(MI.BE = BI.AE\)
b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5. (2,5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ \(NH \bot PD\) tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
{--xem đầy đủ nội dung ở phần xem online hoặc tải về--}
