Đề chọn HSG Tỉnh lớp 9 -Nghệ An năm 2009-2010 có đáp án

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN                       KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

                                                                    NĂM HỌC 2009 – 2010

Câu 1. (4,5 điểm):

            a) Cho hàm số $f(x)=(x^3+12x-31{)}^{2010}$

                Tính  $f(a)$ tại $a=\sqrt[3]{16-8\sqrt{5}}+\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}$

            b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: $5(x^2+xy+y^2)=7(x+2y)$

Câu 2. (4,5 điểm):

            a) Giải phương trình: $x^2=\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}$

            b) Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\end{array}$

Câu 3. (3,0 điểm):

            Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1

            Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}$

Câu 4. (5,5 điểm):

            Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:

            a) $MI.BE=BI.AE$

            b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5. (2,5 điểm):

            Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ $NH\mathrm{\perp }PD$ tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.

        {--xem đầy đủ nội dung ở phần xem online hoặc tải về--}