Chuyên đề Ứng dụng hệ thức Vi-ét Toán 9

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT

+ Nếu  x₁, x₂  là hai nghiệm của phương trình bậc hai  ax² + bx + c = 0 thì

S =  x₁ +x₂ =\(\frac{-b}{a}\)                    P =  x₁.x₂  = \(\frac{c}{a}\)

+ Nếu hai số x₁ , x₂  có tổng  x₁ + x₂ = S và tích x₁x₂ = P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình X² - SX + P = 0  (Định lý Viét đảo)

Vận dụng Định lý Viét và Viét đảo ta chia làm các dạng bài tập sau:

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁= 1, còn nghiệm kia là x₂ = \(\frac{c}{a}\)

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a khác 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁= -1, còn nghiệm kia là x₂ = -\(\frac{c}{a}\)  

Ví dụ 1:  Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a)   3x² - 5x + 2 = 0                

b)   -7x² - x + 6 = 0

Giải:

a.Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0

  nên phương trình có hai nghiệm x₁ = 1,   x₂ = \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{2}{3}\)  

b. Ta có  a - b + c = -7 +1 + 6 = 0

 nên phương trình có hai nghiệm  x₁= -1, x₂ = - \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{6}{7}\) 

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Ví dụ1:   Cho phương trình 2x² - px + 5 = 0.

Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và tìm nghiệm còn lại

Giải:

 Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được p = $\frac{13}{2}$ . Theo hệ thức Viét ta có

x₁x₂ = \(\frac{5}{2}\) mà x₁= 2 nên  x₂ = \(\frac{5}{4}\) 

 Cách 2: Vì  phương trình có nghiệm  nên theo hệ thức Viét ta cóx₁ x₂ = \(\frac{5}{2}\) mà x₁ = 2 nên x₂ = \(\frac{5}{4}\).

Mặt khác   x₁+ x₂ = \(\frac{p}{2}\)  =>   \(\frac{p}{2}\)= 2 + \(\frac{5}{4}\)  =>   p = \(\frac{13}{2}\)

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0  nếu có nghiệm thoả mãn:

a) P < 0  thì hai nghiệm đó trái dấu

b) P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm đều dương

c) P > 0 và S < 0 thì hai nghiệm đều âm

Ví dụ 1 : Không giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:

a)  x² - 2 \(\sqrt{3}\)x + 4 = 0                               

b)  x² + 5x - 1 = 0

c)  x²  - 2\(\sqrt{3}\)x  + 1 =0                               

d)  x² + 9x + 6 = 0

Giải:

a) Ta có   D '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm

b) Ta có   P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Ta có   D' = 2;  S =  2\(\sqrt{3}\) > 0;  P = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 

d) Ta có   D =57;  S = -9 < 0;  P = 6 > 0  nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Ví dụ 1: Cho phương trình  x²+ mx + 1 = 0  ( m là tham số)

Nếu phương trình có nghiệm x₁, x₂  . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:

a)  x₁² + x₂²

b) x₁³ + x₂³  

c) \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\) 

Giải:

Vì phương trình có nghiệm x₁, x₂  nên theo hệ thức Viét  ta có:

x₁+ x₂ = -m    và x₁.x₂ = 1

a)  x₁² + x₂²  = (x₁ +x₂)² - 2x₁x₂ = m² - 2

b)  x₁³ + x₂³ = (x₁+x₂)³ - 3x₁x₂(x₁+ x₂) = -m³+ 3m

c) (x₁ - x₂)² = (x₁ +x₂)² - 4x₁x₂  = m²- 4   nên \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\) =  \(\sqrt {{m^2} - 4}\)   

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x² + 2x + m = 0 (m là tham số)  có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn

a) 3x₁ + 2x₂ = 1

b) x₁² -x₂² = 6

c) x₁² + x₂² = 8

Giải:

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\)  

a) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} + {x_2} =  - 2{\kern 1pt} \quad (1)}\\
{3{x_1} + 2{x_2} = 1\quad (2)}\\
{{x_1}{x_2} = m\quad \quad (3)}
\end{array}} \right.\)  

Giải hệ  (1), (2) ta được  x₁= 5; x₂= -7

Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện)

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Ví dụ 1 :  Cho phương trình x² - 2(m + 1) x + m² =0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Giải:

a) Ta có \(\Delta '\) = (m + 1)² - m² = 2m + 1 Phương trình đã cho có nghiệm <=> \(\Delta '\) \(\ge\) 0 <=>  m \(\ge \)- \(\frac{1}{2}\)

b) Theo hệ thức Viét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)\;\;\;{\mkern 1mu} (1)\\
{x_1}{x_2} = {m^2}\;\;\;{\mkern 1mu} \;\;\;{\mkern 1mu} (2)
\end{array} \right.\)  

Từ (1) ta có  m = \(\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}-1\) thay vào  (2) ta được  \({{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}-1 \right)}^{2}}\)

Hay  4x₁x₂ = (x₁ + x₂ - 2)²  là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Ví dụ 1:  Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + m - 5 = 0  với m là tham số

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức A = x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. 

Giải:

Ta có D' = (m - 1)² -(m - 5) = m² - 3m + 6 > 0 nên phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Theo hệ  thức Viét ta có: x₁+ x₂ = 2(m - 1)  và x₁x₂ = m - 5

Þ x₁²+ x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂  = 4(m - 1)² - 2(m - 5)

= 4m² - 10m +14 = \({{\left( 2m-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{11}{4}\ge \frac{11}{4}\)

Dấu bằng xẩy ra khi m = \(\frac{5}{4}\). Vậy A_min = \(\frac{11}{4}\) khi m = \(\frac{5}{4}\) 

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Ứng dụng hệ thức Vi-ét Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.