Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9 Trường THCS Giáp Sơn

TRƯỜNG THCS GIÁP SƠN

ĐỀ THI HSG LỚP 9 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1: (5 điểm)

a. Cho biểu thức  M=\(\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\) với a, b > 0 và a\(\ne \)b

Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết \(\left( 1-a \right)\left( 1-b \right)+2\sqrt{ab}=1\)

b. Tìm các số nguyên a, b thoả mãn \(\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3\)

c. Cho a, b, c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7\); \(a+b+c=23\); \(\sqrt{abc}=3\)

Tính giá trị biểu thức H=\(\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6}\)  

Bài 2: (4,5 điểm)

a. Tính giá trị của biểu thức  N=\(\frac{\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}}}{\sqrt{4+\sqrt{13}}}+\sqrt{27-10\sqrt{2}}\)

b. Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn \(\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2 \right){{\left( a+b \right)}^{2}}$+${{(1-ab)}^{2}}=-4ab\) 

Chứng minh \(\sqrt{1+ab}\) là số hữu tỉ

c. Giải phương trình \({{x}^{2}}-x-4=2\sqrt{x-1}\left( 1-x \right)\) 

Bài 3: (3,5 điểm)

a. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn \({{x}^{5}}+{{y}^{2}}=x{{y}^{2}}+1\) 

b. Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+2}}\le \frac{3}{2}\) 

Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa  mặt phẳng  bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với  nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE vuông góc với AM. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt  CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P.

a) Chứng minh MNCO là hình thang cân

b) MB cắt CH tại I. Chứng minh KI son song với AB

c) Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vuông góc với QF

Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 4²⁷ + 4²⁰¹⁶ + 4ⁿ   là số chính phương

ĐÁP ÁN

Câu 1:

a) -Rút gọn M=\(\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) với a, b>0 và a\(\ne \)b

-Ta có

\(\begin{array}{l}
\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right) + 2\sqrt {ab}  = 1 \Leftrightarrow ab - a - b + 1 + 2\sqrt {ab}  = 1\\
 \Leftrightarrow ab = {\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \Leftrightarrow {(\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }})^2} = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }}} \right| = 1
\end{array}\)

+ Nếu a>b>0

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \sqrt a  > \sqrt b  \Rightarrow \sqrt a  - \sqrt b  > 0;\sqrt {ab}  > 0 \Rightarrow \frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} > 0\\
 \Rightarrow \left| {\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }}} \right| = \frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} \Rightarrow \frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} = 1 \Rightarrow M = 1
\end{array}\)

+ nếu 0 < a < b 

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \sqrt a  < \sqrt b  \Rightarrow \sqrt a  - \sqrt b  < 0;\sqrt {ab}  > 0 \Rightarrow \frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} < 0\\
 \Rightarrow \left| {\frac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }}} \right| = \frac{{ - \sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} \Rightarrow \frac{{ - \sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} = 1 \Rightarrow M =  - 1
\end{array}\) 

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bài 1: (5,0 điểm)

Cho biểu thức: \(\left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{2}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\) 

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để P = \(\frac{2}{7}\).

c) So sánh: P² và 2P.

Bài 2: (4,0 điểm)   

a) Tìm \(x,y \in Z\) thỏa mãn: 2y²x + x + y + 1 = x² + 2y² + xy

b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 

\({\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) 

Chứng minh rằng: a³ + b³ + c³ chia hết cho 3.

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho P = \(\frac{x\sqrt{x}-2x-\sqrt{x}+2}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}-2}\) + \(\frac{x\sqrt{x}+2x-\sqrt{x}-2}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+2}\) 

1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1

2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

Bài 2: (4,0 điểm)

1. Giải phương trình \(\frac{\left| 5-3x \right|-\left| x-1 \right|}{x-3+\left| 3+2x \right|}\) = 4

2. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x² + xy + y² = x²y²

Bài 3: (4,0 điểm)

1. Cho a = x + \(\frac{1}{x}\)

b = y + \(\frac{1}{y}\)

c = xy + \(\frac{1}{xy}\)

Tính giá trị biểu thức: A = a² + b² + c² – abc

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bài 1. (2,0 điểm)

a) Cho \(x=\frac{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}}\). Tính giá trị của \(\text{P}={{\left( \text{12}{{\text{x}}^{2}}\text{+ 4x}55 \right)}^{\text{2}0\text{17}}}\).

b) Cho biểu thức \(M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}+\frac{{{a}^{2}}-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}\) với a > 0, a ¹ 1.

 Với những giá trị nào của a thì biểu thức \(N=\frac{6}{M}\) nhận giá trị nguyên?

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Cho phương trình: \({{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m-6=0\) (m là tham số). Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm \({{x}_{1}}\) và \({{x}_{2}}\) sao cho \(\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=8\)?

b) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3}{y^2} - 2{x^2}y - {x^2}{y^2} + 2xy + 3x - 3 = 0\\
{y^2} + {x^{2017}} = y + 3m
\end{array} \right..\) 

Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left( x{}_{1};{{y}_{1}} \right)\) và \(\left( x{}_{2};{{y}_{2}} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left( x{}_{1}+{{y}_{2}} \right)\left( {{x}_{2}}+{{y}_{1}} \right)+3=0\).

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bài 1: (5 điểm)

a. Cho biểu thức  M=\(\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\) với a, b > 0 và a\(\ne \)b

Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết \(\left( 1-a \right)\left( 1-b \right)+2\sqrt{ab}=1\)

b. Tìm các số nguyên a, b thoả mãn \(\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3\)

c. Cho a, b, c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7\) ; \(a+b+c=23\) ; \(\sqrt{abc}=3\)

Tính giá trị biểu thức H=\(\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6}\)

Bài 2: (4,5 điểm)

a. Tính giá trị của biểu thức  N=\(\frac{\sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}}}{\sqrt{4+\sqrt{13}}}+\sqrt{27-10\sqrt{2}}\)

b. Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn \(\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2 \right){{\left( a+b \right)}^{2}}$+${{(1-ab)}^{2}}=-4ab\)

Chứng minh \(\sqrt{1+ab}\) là số hữu tỉ

c. Giải phương trình \({{x}^{2}}-x-4=2\sqrt{x-1}\left( 1-x \right)\)

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9 Trường THCS Giáp Sơn. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.