Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Huỳnh Đức Khánh

LÝ THUYẾT BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

 

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập Chúng tôi.net tải file PDF tài liệu về máy.

I. ĐỊNH NGHĨA

1) Hàm số sin

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực \(\sin x:\)

\(\begin{array}{l}\sin x:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \to y = \sin x\end{array}\)

Được gọi là hàm số sin, kí hiệu \(y = \sin x.\)

Tập xác định của hàm số sin là \(\mathbb{R}.\)

2) Hàm số côsin

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực \(\cos x:\)

\(\begin{array}{l}\cos x:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \to y = \cos x\end{array}\)

Được gọi là hàm số sin, kí hiệu \(y = \cos x.\)

Tập xác định của hàm số côsin là \(\mathbb{R}.\)

3) Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức \(y = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\,(\cos  \ne 0),\) kí hiệu \(y = \tan x.\)

Tập xác định của hàm số \(y = \tan x\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

4) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức \(y = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\,(\sin x \ne 0),\) kí hiệu là \(y = \cot x.\)

Tập xác định của hàm số \(y = \cot x\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

II. TÍNH TUẦN HOÀN VÀ CHU KÌ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1) Định nghĩa

Hàm số \(y = f(x)\) có tập xác định là D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số \(T \ne 0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có:

\(x - T \in D\) và \(x + T \in D\)

\(f(x + T) = f(x)\)

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Người ta chứng minh được rằng hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi ;\) hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi ;\) hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi ;\) hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi .\)

2) Chú ý

Hàm số \(y = \sin (ax + b)\) tuần hoàn với chu kì \({T_0} = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\)

Hàm số \(y = \cos \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kì \({T_0} = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\)

Hàm số \(y = \tan (ax + b)\) tuần hoàn với chu kì \({T_0} = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}.\)

Hàm số \(y = \cot \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kì \({T_0} = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}.\)

Hàm số \(y = {f_1}(x)\) tuần hoàn với chu kì \({T_1}\) và hàm số \(y = {f_2}(x)\) tuần hoàn với chu kì \({T_2}\) thì hàm số \(y = {f_1}(x) \pm {f_2}(x)\) tuần hoàn với chu kì \({T_0}\) là bội chung nhỏ nhất của \({T_1}\) và \({T_2}.\)

III. SỰ BIẾN THIÊN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1) Hàm số sin

Xét hàm số \(y = \sin x\)

• Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
• Tập giá trị: \([-1;1].\)
• Hàm số tuần hòa với chu kì \(2\pi \).
• Sự biến thiên:
  • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {-\frac{{ \pi }}{2} + k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
  • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).

• Đồ thị hàm số \(y = \sin x\)
  • Đồ thị là một đường hình sin.
  • Do hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
  • Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):

​

2) Hàm số côsin

Xét hàm số \(y = \cos x\)

• Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
• Tập giá trị: \([-1;1].\)
• Hàm số tuần hòa với chu kì: \(2\pi \)
• Sự biến thiên:
  • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \pi + k2\pi ;\,\,k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).
  • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).
• Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)
  • Đồ thị hàm số là một đường hình sin.
  • Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
  • Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)​:

3) Hàm số \(y = \tan x\)

• Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\) 
• Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi.\) 
• Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\,\frac{\pi }{2} + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
• Đồ thị hàm số \(y = \tan x\)​
  • Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
  • Đồ thị hàm số \(y = \tan x\):

4) Hàm số \(y = \cot x\)

• Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\left( {k \in } \right)} \right\}.\) 
• Tập giá trị là \(\mathbb{R}.\)
• Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi .\) 
• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  \(\left( {k\pi ;\,\pi + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
• Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)
  • Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
  • Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)​:

 

 

 

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

 

Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH

Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{{2017}}{x}.\)

A. \(D = \mathbb{R}.\)

B. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)

C. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

D. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{{1 - \sin x}}{{\cos x - 1}}.\)

A. \(D = \mathbb{R}.\)

B. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

C. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

D. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. \(y = \sin x\)

B. \(y = \cos x\)

C. \(y = \tan x\)

D. \(y = \cot x\)

Câu 20. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A. \(y = \sin x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} .\)

B. \(y = {\sin ^3}x.\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right).\)

C. \(y = \frac{{\tan x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}.\)

D. \(y = \cos x.{\sin ^3}x.\)

Câu 28. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

A. Đồ thị hàm số \(y = \left| {\sin x} \right|\) đối xứng qua gốc tọa độ O.

B. Đồ thị hàm số \(y = \cos x\) đối xứng qua trục Oy.

C. Đồ thị hàm số \(y = \left| {\tan x} \right|\) đối xứng qua trục Oy.

D. Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) đối xứng qua gốc tọa độ O.

 

{--Xem đầy đủ nội dung ở phần Xem Online hoặc tải về--}

 

Hy vọng tài liệu này sẽ có ích cho các em trong quá  trình học tập.

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!