Các dạng toán về phương trình elip

1. Dạng 1: Xác định độ dài các trục khi cho sẵn phương trình elip

Từ phương trình chính tắc của $\left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ta có thể xác định được:

+ Các đỉnh : $A_1(-a;0),A_2(a;0),B_1(0;-b),B_2(0;b)$

+ Trục lớn : $A_1{A}_2=2a,$ trục nhỏ :$B_1{B}_2=2b.$

Ví dụ: Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.$ Khi đó độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là.

A. $9;4.$

B. $6;4.$  

C. $3;2.$

D. $4;6.$

Lời giải

Ta có: $\{\begin{array}{l}{a}^2=9\\ b^2=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=2\end{array}$

- Trục lớn: $A_1{A}_2=2a=2.3=6$

- Trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b=2.2=4$

Chọn B

2. Dạng 2: Xác định tọa độ các tiêu điểm khi cho sẵn phương trình elip

Từ phương trình chính tắc của $\left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ta có thể xác định được:

+ Các đỉnh : $A_1(-a;0),A_2(a;0),B_1(0;-b),B_2(0;b)$

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái $F_1(-c;0),$ tiêu điểm phải $F_2(c;0)$ với $b^2=a^2-c^2$

Ví dụ: Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1.$ Khi đó tọa độ tiêu điểm của elip là.

A. $F_1(-\sqrt{7};0),F_2(\sqrt{7};0)$

B. $F_1(-16;0),F_2(16;0)$                                 

C. $F_1(-9;0),F_2(9;0)$

D. $F_1(-4;0),F_2(4;0)$

Lời giải

Ta có: $\{\begin{array}{l}{a}^2=16\\ b^2=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\end{array}\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{7}$

- Tiêu điểm là: $F_1(-\sqrt{7};0),F_2(\sqrt{7};0)$

3. Dạng 3: Xác định tọa độ các tiêu điểm khi cho sẵn phương trình elip

Từ phương trình chính tắc của $\left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ta có thể xác định được:

+ Các đỉnh : $A_1(-a;0),A_2(a;0),B_1(0;-b),B_2(0;b)$

Ví dụ 1: Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1.$ Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục lớn của elip là.

A. $A_1(-1;0),A_2(1;0)$ 

B. $A_1(0;-1),A_2(0;1)$                                  

C. $A_1(2;0),A_2(-1;0)$   

D. $A_1(-2;0),A_2(2;0)$

Lời giải

Ta có: $a^2=4\iff a=2$

- Hai đỉnh trên trục lớn là: $A_1(-2;0),A_2(2;0)$

Chọn D

Ví dụ 2: Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.$ Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục nhỏ của elip là.

A. $B_1(-2;0),B_2(2;0)$

B. $B_1(3;0),B_2(2;0)$                                   

C. $B_1(-3;0),B_2(-2;0)$    

D. $B_1(-3;0),B_2(3;0)$

Lời giải

Ta có: $b^2=4\iff b=2$

- Hai đỉnh trên trục lớn là: $B_1(-2;0),B_2(2;0)$

Chọn A

4. Dạng 4: Lập phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục lớn và trục nhỏ.

+ Trục lớn : $A_1{A}_2=2a,$ trục nhỏ :$B_1{B}_2=2b.$ Ta xác định được $a,b.$

+ Viết phương trình elip: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho elip $\left(E\right)$ có độ dài trục lớn bằng $12$ và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip $\left(E\right).$

A. $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{36}=1.$

B. $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{36}=1.$

C. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1.$ 

D. $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{36}=0.$

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$.

Ta có $a=6$, $b=3$, vậy phương trình của Elip là: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$.

Chọn C.

5. Dạng 5: Lập phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục lớn và tiêu cự của nó.

+ Trục lớn : $A_1{A}_2=2a,$ tiêu cự: $F_1{F}_2=2c.$ Ta xác định: $b^2=a^2-c^2$

+ Viết phương trình elip: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho elip $\left(E\right)$ có độ dài trục lớn bằng $10$ và độ dài tiêu cự bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip $\left(E\right).$

A. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$   

B. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1.$

C. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1.$  

D. $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{36}=0.$

Lời giải

Ta có: $2a=10,2c=6\Rightarrow a=5,c=3.$ $b^2=a^2-c^2=5^2-3^2=16.$

Vậy phương trình của Elip là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

Chọn A.

6. Dạng 6: Lập phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục nhỏ và tiêu cự của nó.

a) Phương pháp giải tự luận.

+ Trục nhỏ : $B_1{B}_2=2b,$ tiêu cự: $F_1{F}_2=2c.$ Ta xác định: $a^2=b^2+c^2.$

+ Viết phương trình elip: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho elip $\left(E\right)$ có độ dài trục nhỏ bằng 8 và độ dài tiêu cự bằng $10.$ Phương trình nào sau đây là phương trình của elip $\left(E\right).$

A. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$ 

B. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{41}=1.$

C. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1.$ 

D. $\frac{x^2}{41}+\frac{y^2}{16}=1.$

Lời giải

Ta có: $2b=8,2c=10\Rightarrow b=4,c=5.$ $a^2=b^2+c^2=4^2+5^2=41.$

Vậy phương trình của Elip là: $\frac{x^2}{41}+\frac{y^2}{16}=1.$

Chọn D.

7. Dạng 7: Lập phương trình chính tắc của elip khi biết nó đi qua hai điểm cho trước.

a) Phương pháp giải tự luận.

+ Phương trình elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

+ Elip qua hai điểm cho trước, ta thay tọa độ vào phương trình elip giải ra được $a^2,b^2.$

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ phương  trình $\left(E\right)$ đi qua điểm $M(0;3),N(3;-\frac{12}{5})$ là:

A. $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1.$  

B. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$

C. $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1.$  

D. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1.$

Lời giải

Phương trình elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$ Đi qua hai điểm M,N ta được:

$\{\begin{array}{l}\frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\\ \frac{9}{a^2}+\frac{144}{25b^2}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{b}^2=9\\ a^2=25\end{array}$.

Vậy phương trình elip: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$ Chọn B.

b) Phương pháp giải trắc nghiệm, casio.

Dùng máy tính nhập: $\frac{X^2}{25}+\frac{Y^2}{9}\Rightarrow$ calc $X=0;Y=3$ và calc $X=3;Y=-\frac{12}{5}$ .

Kết quả ra bằng $1$ là đáp án đúng.

8. Dạng 8: Lập phương trình chính tắc của elip khi biết nó có một tiêu cự và đi qua một điểm cho trước

+ Phương trình elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

+ Từ giả thiết ta xác định được c và $c^2=a^2-b^2.(1)$

+ Elip qua hai điểm $(x_o,y_o)$  cho trước, ta được: $\frac{x_o^2}{a^2}+\frac{y_o^2}{b^2}=1.(2)$

+ Từ $(1)\mathrm{\&}(2)$ ta giải ra được $a^2,b^2.$

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng $6$và đi qua điểm $A(0;5)$.

A. $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{81}=1.$                                              

B. $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1.$

C. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$                                          

D. $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1.$

Lời giải

Chọn B.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$.

Theo giả thiết: $2c=6\iff c=3$. Vì $A(0;5)\in \left(E\right)$ nên ta có phương trình: $\frac{0^2}{a^2}+\frac{5^2}{b^2}=1\iff b^2=25$.

Khi đó: $a^2=b^2+c^2\iff a^2=5^2+3^2$$\iff a^2=34\iff a=\sqrt{34}$.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$.

9. Dạng 9: Chứng minh một điểm M luôn di động trên một elip với điều kiện cho trước.

Để chứng tỏ điểm M di động trên một elip ta có hai cách sau:

+) Cách 1: Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định $F_1,F_2$ là một hằng số $2a(F_1{F}_2<2a).$

Khi đó M di động trên elip có hai tiêu điểm $F_1,F_2$ và trục lớn là 2a.

+) Cách 2: Chứng minh trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ điểm M(x;y) có tọa độ thỏa mãn phương trình: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b$ là hai hằng số thỏa mãn 0 < b < a

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$cho điểm M(x;y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn: $\{\begin{array}{l}x=5\cos t\\ y=4\mathrm{sint}\end{array},$ với t là tham số thay đổi. Khi đó điểm M di động trên elip có phương trình:

A. $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{81}=1.$                              

B. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1.$

C. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$

D. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

Lời giải

Ta có: $\{\begin{array}{l}x=5\cos t\\ y=4\mathrm{sint}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{x}{5}=\cos t\\ \frac{y}{4}=\sin t\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{x^2}{25}={\cos }^{2}t\\ \frac{y^2}{16}={\sin }^{2}t\end{array}\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$cho điểm M(x;y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn: $\{\begin{array}{l}x=7\cos t\\ y=5\mathrm{sint}\end{array},$ với t là tham số thay đổi. Khi đó điểm M di động trên elip có phương trình:

A. $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{81}=1.$      

B. $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{25}=1.$

C. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$ 

D. $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

Lời giải

Ta có: $\{\begin{array}{l}x=7\cos t\\ y=5\mathrm{sint}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{x}{7}=\cos t\\ \frac{y}{5}=\sin t\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{x^2}{49}={\cos }^{2}t\\ \frac{y^2}{25}={\sin }^{2}t\end{array}\Rightarrow \frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{25}=1.$

Chọn B.

10. Dạng 10: Tìm số giao điểm của đường thẳng và elip.

+ Phương trình elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:y=mx+n.$

+ Ta xét phương trình: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{{(mx+n)}^2}{b^2}=1(\ast )$. Ta có 3 trường hợp:

TH1: (*) có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip).

TH2: (*) có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp xúc elip).

TH3: (*) vô nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip không có điểm chung).

Ví dụ 1: Cho elíp $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ và đường thẳng $d:3x+4y-12=0$. Số giao điểm của đường thẳng $d$ và elip $\left(E\right)$ là:

A. $0.$                                                                                  B. $1.$

C. $2.$                                                                                  D. $3.$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $d:3x+4y-12=0\iff y=3-\frac{3x}{4}$, thay vào phương trình $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ ta được

$\frac{x^2}{16}+\frac{{\left(3-\frac{3x}{4}\right)}^2}{9}=1\iff \frac{x^2}{16}+\frac{{\left(x-4\right)}^2}{16}=1$

$\iff 2x^2-8x=0\iff [\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y=3\\ x=4\Rightarrow y=0\end{array}$

Vậy d luôn cắt $\left(E\right)$ tại hai điểm phân biệt $A(0;3)$,$B(4;0)$.

Ví dụ 2: Cho elip $(E):\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ và đường thẳng $d:x-\sqrt{2}y+2=0$. Số giao điểm của đường thẳng $d$ và elip $\left(E\right)$ là:

A. $0.$                                                                                  B. $1.$

C. $2.$                                                                                  D. $3.$

Lời giải

Chọn C.

Lời giải.

Tọa độ B, C là nghiệm của hệ:

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ x-\sqrt{2}y+2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2=8\\ x=\sqrt{2}y-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{y}^2-\sqrt{2}y-1=0\\ x=\sqrt{2}y-2\end{array}$

Có 2 nghiệm y nên có 2 nghiệm $x\Rightarrow$ có 2 giao điểm.

Câu 1: Cho elip $\left(E\right)$có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(0<b<a)$. Tìm độ dài trục lớn của $\left(E\right)$.

A. $2a$                                                                              B. $2b$

C. $a+b$                                                                            D. $2c$

Câu 2: Cho elip $\left(E\right)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(0<b<a)$. Tính tổng độ dài hai trục của của $\left(E\right)$.

A. $2a$                                                                              B. $2b$

C. $2(a+b)$                                                     D. $a+c$

Câu 3: Cho elip $\left(E\right)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(0<b<a)$. Gọi $A_1,A_2$ là các đỉnh của $\left(E\right)$thuộc trục $Ox$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $A_1{A}_2=2a$                                            B. $A_1{A}_2=2b$

C. $A_1{A}_2=a+b$                                         D. $A_1{A}_2=2c$

Câu 4: Cho elip $\left(E\right)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(0<b<a)$. Tìm độ dài trục bé của $\left(E\right)$.

A. $2a$                                                                              B. $2b$

C. $a+b$                                                                            D. $2c$

Câu 5: Cho elip $\left(E\right)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(0<b<a)$. Gọi $B_1,B_2$ là các đỉnh của $\left(E\right)$thuộc trục $Oy$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $B_1{B}_2=2a$                                            B. $B_1{B}_2=2b$

C. $B_1{B}_2=a+b$                                          D. $B_1{B}_2=2c$

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Các dạng toán về phương trình elip. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về Phương trình elip Toán 10

Chúc các em học tập tốt!