Bài 6: Công thức Bernoulli

Trong nhiều bài toán thực tế, ta thường gặp trường hợp cùng một phép thử được lặp đi lặp lại nhiều lần. Trong mỗi phép thử có thể xảy ra hay không xảy ra một biến cố A nào đó và ta quan tâm đến tổng số lần xảy ra biến cố A trong dãy phép thử. Chẳng hạn, nếu tiến hành sản xuất hàng loạt một loại chi tiết nào đó ta thường quan tâm đến tổng số chi tiết đạt tiêu chuẩn của cả quá trình sản xuất. Bài toán này có thể giải quyết khá dễ dàng nếu các phép thử độc lập với nhau.

Các phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy ra một biến cố nào đó trong từng phép thử sẽ không phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở phép thử khác hay không. Chẳng hạn: tung nhiều lần một đồng xu hoặc lấy ngẫu nhiên có hoàn lại n sản phẩm từ một lô hàng sẽ tạo nên các phép thử độc lập.

Giả sử tiến hành n phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc biến cố A xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra. Xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p và xác suất A không xảy ra bằng 1 - p = q. Khi dó xác suất để trong n phép thử độc lập nói trên biến cố A xảy ra đúng k lần ký hiệu là Pk(A) được tính theo công thức Bemoulli sau đây:

 \({P_k}(A) = C_n^k{p^k}{q^{n - k}}\) (1.21)

(k = 0, 1,2,..., n)

Chứng minh: Gọi A_i là biến cố “ở phép thử thứ i, A xảy ra” (i = 1, 2,..., n). Suy ra \(\overline {{A_i}} \) sẽ là biến cố “ở phép thử thứ i, A không xảy ra”. Gọi B là biến cố “trong n phép thử, A xảy ra đúng k lần”. B có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, k phép thử đầu, A xảy ra, còn n-k phép thử sau A không xảy ra. Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích:

\({A_1}.{A_2}....{A_k}.{\overline A _{k + 1}}.{\overline A _{k + 2}}...\overline {{A_n}} \)

Hoặc n-k phép thử đầu A không xảy ra, còn n-k phép thử cuối A xảy ra. Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích có dạng:

\(\overline {{A_1}} .\overline {{A_2}} ...{\overline A _{n - k}}.{\overline A _{n - k + 1}}...{A_n}\)

Tổng số các tích như vậy chính là số cách chọn k phép thử để biến cố A xảy ra, tức bằng \(C_n^k\) và biến cố B chính là tổng của những biến cố tích ấy.

Đối với mỗi tích, ta thấy biến cố A xảy ra đúng k lần, còn \(\overline A \) xảy ra đúng (n- k) lần. Do đó xác suất của mỗi tích đều bằng \({p^k}{q^{n - k}}\)

Vì các biến cố tích là các biến cố xung khắc từng đôi, nên ta có:

\({P_k}(A) = P(B) = C_n^k{p^k}{q^{n - k}}\)

Thí dụ: Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5%. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó ra 5 sản phẩm để kiểm tra (lấy có hoàn lại). Tìm xác suất để có 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra kiểm tra?

Giải: Ta coi việc kiểm tra một sản phẩm là thực hiện một phép thử. Vì kiểm tra 5 sản phẩm nên ta coi như thực hiện 5 phép thử độc lập. Gọi A là biến cố “sản phẩm lấy ra kiểm tra là phế phẩm”. Ta thấy trong mỗi phép thử chi có thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc sản phẩm kiểm tra là phế phẩm (tức A xảy ra), hoặc sản phẩm kiểm tra là sản phẩm tốt (tức A không xảy ra). Xác suất để A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng 0,05. Vậy các điều kiện để áp dụng công thức Bernoulli đều thoả mãn. Vì vậy, xác suất để có 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra kiểm tra là:

\({P_2}\left( A \right){\rm{ }} = C_5^2{\left( {0,05} \right)^2}{\left( {0,95} \right)^3} = 0,0214\)