Bài 3: Xác suất của biến cố và các tính xác suất (phần 1)

Giả sử A là biến cố của phép thử nào đó. Mặc dù khi tiến hành phép thử một lần, ta không thể nói trước biến cố A có xảy ra hay không, nhưng ta thừa nhận rằng: Có một số [ký hiệu là P(A) tồn tại khách quan] đo khả năng xảy ra biến cố A. số này phải bằng 1(100%) nếu A là biến cố chắc chắn, bầng 0 nếu A là biến cố không thể, và nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

Vậy:

Xác suất của một biến cố là một con số biểu thị khả năng xảy ra biến cố đó khi thực hiện phép thử.

Tùy từng trường hợp cụ thể, ta tìm cách xác định P(A) một cách hợp lý.

Phần này ta sẽ trình bày cách xây dựng mô hình xác suất cho những phép thử “đối xứng”, như tung một đồng xu hay gieo một con súc sắc hoặc chọn ngẫu nhiên k phần tử từ một tập hợp có một số hữu hạn các phần tử.

Thí dụ: Tung một con súc sắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố "súc sắc ra mặt chấn". Ta tìm xác suất của biến cố A.

Khi tung con súc sắc đều đặn và đồng chất ta thấy có 6 trường hợp có thể xảy ra: Súc sắc ra mặt 1; mặt 2;.... ; mặt 6. Những trường hợp này duy nhất và có khả năng xảy ra như nhau (đối xứng nhau). Người ta thường gọi các trường hợp thỏa mãn các điều kiện trên là các trường hợp (kết cục) đồng khả năng.

Trong 6 trường hợp đồng khả năng, ta thấy chỉ có 3 trường hợp mà khi các trường hợp này xảy ra thì biến cố A sẽ xảy ra. Đó là các trường hợp: súc sắc ra mặt 2; mặt 4; mặt 6. Những trường hợp mà khi nó xảy ra làm cho biến cố A xảy ra gọi là các trường hợp thuận lợi cho A.

Như vậy về mặt trực quan ta thấy khả năng xảy ra biến cố A là \(\frac{3}{6}\) hay 0,5. Đó chính là cách tính xác suất theo lối cổ điển.

Định nghĩa: Xác suất xảy ra biến cố A là tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi cho A và số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử.

Ký hiệu P(A) là xác suất của biến cố A.

m là số trường hợp thuận lợi cho A.

n là số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử.

Thì:

\(F(A) = \frac{m}{n}\)

Từ định nghĩa cổ điển về xác suất, ta có thể dễ dàng suy ra các tính chất sau đây:

1. Nếu A là biến cố ngẫu nhiên thì: 0 < P(A) < 1
2. Nếu \(\Omega\) là biến cố chắc chắn thì: \(P(\Omega ) = 1\)
3. Nếu \(\emptyset\) là biến cố không thể thì: \(P(\emptyset ) = 0\)

Như vậy, nếu A là biến cố bất kỳ thì xác suất của biến cố A luôn luôn thỏa mãn điều kiện: \(0 \le P(A) \le 1\)

Chú ý: Mệnh đề đảo của tính chất 2 và 3 chưa chắc đã đúng. Nghĩa là một biến cố có xác suất bằng 1 thì chưa chắc đã là biến cố chắc chắn và một biến cố có xác suất bằng 0 thì chưa chắc đã là biến cố không thể.

• Phương pháp tính trực tiếp
• Phương pháp sử dụng sơ đồ
• Phương pháp sử dụng các khái niệm của giải tích tổ hợp