Bài 3: Mô hình Input-Output Leontief Mở

Mô hình này nhằm xác định đầu ra của mỗi ngành trong n ngành sao cho vừa đủ để thỏa mãn toàn bộ nhu cầu về loại sản phẩm đó.

Giả sử trong mô hình ta có: 

• Mỗi ngành chi sản xuất một mặt hàng thuần nhất.
• Mỗi ngành sử dụng một tỷ lệ cố định các đầu vào cho sản xuất đầu ra.
• Mọi đầu vào thay đổi k lần thì đầu ra thay đổi k lần.

Ta ký hiệu các hệ số a_ij là hệ số đầu vào đối với nền kinh tế n - ngành, được xếp trong ma trận:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$

với a_ij là a_ij đơn vị tiền của ngành thứ i dùng để sản xuất ra 1 đơn vị tiền cho ngành thứ j, trong đó cột thứ j cho biết những yêu cầu đầu vào của n ngành để sản xuất ra một lượng hàng hóa đầu ra của ngành thử j trị giá một đơn vị tiền.

Bên cạnh n ngành, mô hình còn có một ngành khác được gọi là ngành mở. Ngành này xác định một cách độc lập một yêu cầu cuối cùng (yêu cầu không như đầu vào) về hàng hóa của mỗi ngành. Bản thân nó lại cung ứng những đầu vào thiết yếu (ví dụ như lao động, dịch vụ, ...) cho n ngành trên. Những đầu vào thiết yếu do ngành mở cung cấp không được sản xuất bời bất kỳ ngành nào trong số n ngành kể trên.

Khi đó ta có $\sum _{i=1}^n{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}$ là giá đầu vào riêng (không bao gồm giá của đầu vào thiết yếu) để sản xuất ra một đơn vị tiền cho ngành thứ j, $\mathrm{\forall }j=\overline{1,n}$. Để hợp lý về mặt kinh tế ta giả sử $\sum _{i=1}^n{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}<1,\mathrm{\forall }j=\overline{1,n}$. Vậy giá trị của đầu vào thiết yếu để sản xuất một lượng hàng thứ j trị giá một đơn vị tiền là $a_{0j}=1-\sum _{i=1}^n{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}$

Gọi lượng đầu ra của n ngành là x₁, x₂, ...,x_n yêu cầu cuối cùng cho đầu ra của ngành thứ i là $d_i,i=\overline{1,n}$. Giả sử ngành thứ i sản xuất một lượng đầu ra X_i vừa đủ để đáp ứng những điều kiện đầu vào của _n ngành và đáp ứng yêu cầu cuối cùng của ngành mở. Khi đó, ta có:

$x_i=a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+a_{i3}{x}_3+....+a_{in}{x}_n+d_i\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$

$\iff -a_{i1}{x}_1-a_{i2}{x}_2-.....+(1-a_{ii})x_i-....-a_{in}{x}_n=d_i\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$

$\iff \{\begin{array}{l}(1-a_{11})x_1-a_{12}{x}_2-....-a_{1n}{x}_n=d_1\\ -a_{21}{x}_1+(1-a_{22})x_2-....-a_{2n}{x}_n=d_2\\ ......\\ -a_{n1}{x}_1-a_{n2}{x}_2-....+(1-a_{nn})x_n=d_n\end{array}$

Trong đó, $a_{\mathrm{i}\mathrm{j}}{x}_j$ diễn tả yêu cầu đầu vào của ngành thứ j đổi với ngành thứ i .

Nếu viết dưới dạng ma trận ta có $(I_n-A).X=D$, trong đó $I_n$ là ma trận đorn vị cấp n, A là ma trận các hệ số đầu vào, X là véctơ cột của lượng đầu ra, D là vectơ cột biểu thị các yêu cầu cuối cùng. Với giả thiết $\sum _{i=1}^n{a}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}<1(\mathrm{\forall }j=\overline{1,n})$ thì $X=(I_n-A{)}^{-1}.D$

Ví dụ: Trong mô hình input _ Output mở biết ma trận đầu vào

$A=\left[\begin{array}{ccc}0,3& 0,1& 0,1\\ 0,1& 0,2& 0,3\\ 0,2& 0,3& 0,2\end{array}\right]$

1. Nói ý nghĩa cùa hệ số a₂₃ trong ma trận A .

2. Tìm mức sản lượng của 3 ngành, nếu ngành mở yêu cầu 3 ngành trên phải cung cấp cho nó những lượng sản phẩm trị giá tưong ứng (70,100,30)

Giải:

Ý nghĩa của hệ số a₂₃ = 0,3 : cần một lượng hàng hóa thử 2 (nguyên liệu thứ 2) trị giá 0,3 (đơn vị tiền), để sản xuất một lượng hàng hóa thứ 3 trị giá 1 (đơn vị tiền).

Ta gọi I₃ là ma trận đơn vị cấp 3, A là ma trận đầu vào và D là nhu cầu cuối cùng với X là vectơ ở dạng cột.

Ta có: $(I_3-A).X=D$

$\iff \left(\begin{array}{ccc}0,7& -0,1& -0,1\\ -0,1& 0,8& -0,3\\ -0,2& -0,3& 0,8\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}70\\ 100\\ 30\end{array}\right)$

$\iff \{\begin{array}{l}0,7x_1-0,1x_2-0,1x_3=70\\ -0,1x_1+0,8x_2-0,3x_3=100\\ -0,2x_1-0,3x_2+0,8x_3=30\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}7x_1-x_2-x_3=700\\ -x_1+8x_2-3x_3=1000\\ -2x_1-3x_2+8x_3=300\end{array}$

Giải hệ trên bằnq phương pháp Cramer, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1=150\\ x_2=200\\ x_3=150\end{array}$

Vậy đầu ra của ba ngành lần lượt là 150,200,150