Bài 2: Mô hình cân bằng thị trường

Gọi P là giá thị trưòrm của một mặt hàng nào đó.

• Q_D là lượng cầu của mặt hàng đó.
• Q_S là lượng cung của mặt hàng đó.

Khi đó lượng cầu Q_D và lượng cung Q_S phụ thuộc vào giá P. Các mối quan hệ giữa P và Q_S, Q_D lần lượt gọi là phương trình cung và phương trình cầu (hay hàm cung và hàm cầu). Các nhà kinh tế thường vẽ đồ thị biểu diễn các mối quan hệ giữa P và Q trong hệ trục tọa độ Descartes với Q ở trên trục hoành và P ở trên trục tung.

Giả sử các mối quan hộ này là các hàm tuyến tính, nghĩa là: 

P = aQ_D + b

P = cQ_S + d

Lý thuyết kinh tế vi mô chứng minh được rằng: thông thường lượng cầu giảm khi giá tăng và lượng cung tăng khi giá tăng.

Như thế, ta có : a < 0 và c > 0.

Các đồ thị biểu diền mối quan hệ giữa P với Q_S và Q_D lần lượt gọi là đường cung và đường cầu.

Thị trường gọi là cân bằng khi lượng cung = lượng cầu (giao điểm cùa đường cung và đường cầu). Giá P₀ và lượng Q₀ tương ứng tại điểm cân bằng thị trường lần lượt gọi là giá cân bằng và lượng cân bằng.

Ví dụ: Cho các phương trình cung, cầu cua một loại hàng hóa như sau 

\(\begin{array}{l} 4P = - {Q_D} + 240\\ 5P = {Q_S} + 30 \end{array}\)

Hãy tìm giá cân bằng và lượng cân bằng.

Giải: Khi thị trường cân bằng, ta có Q_D = Q_S - Q₀

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} 4{P_0} = - {Q_0} + 240\\ 5{P_0} = {Q_0} + 30 \end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} 4{P_0} + {Q_0} = 240\\ 5{P_0} - {Q_0} = 30 \end{array} \right.\,(*)\)

Ta giải hệ (*) bằng phương pháp Cramer, nghiệm của (*) là:

\(\left\{ \begin{array}{l} {P_0} = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {240}&1\\ {30}&{ - 1} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&1\\ 5&{ - 1} \end{array}} \right|}} = 30\\ {Q_0} = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{240}\\ 5&{30} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&1\\ 5&{ - 1} \end{array}} \right|}} = 120 \end{array} \right.\)

Vậy, khi thị trường cân bằng ta có: (P₀;Q₀) = (30; 120)

Ví dụ: Cho các phương trình cung, cầu của một loại hàng hóa như sau: \(\begin{array}{l} P = - {Q_D} + 125\\ P = \frac{3}{2}{Q_S} + 15 \end{array}\)

a. Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng.

b. Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng nếu như nhà nước đánh thuế 5 đồng/mỗi đơn vị sản phẩm. Hãy cho biết người mua hay người bán phải trả thuế này.

Giải:

Khi thị trường cân bằng, ta có: Q_D = Q_S = Q₀

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} P = - {Q_0} + 125\\ P = \frac{3}{2}{Q_0} + 15 \end{array} \right.\,\,hay\,\,\left\{ \begin{array}{l} {P_0} + {Q_0} = 125\\ 2{P_0} - 3{Q_0} = 30 \end{array} \right.\,\,\,(*)\)

Ta giải hệ (*) bằng phương pháp Cramer, nghiệm của (*) là: \(\left\{ \begin{array}{l} {P_0} = 81\\ {Q_0} = 44 \end{array} \right.\)

Vậy, khi thị trường cân bằng ta có: (P₀;Q₀) = (81;44)

b. Khi Nhà nước đánh thuế 5 đồng/mồi đơn vị sản phẩm thì phương trình cung sẽ bị thay đổi. Khi đó, với giá thị trường của mồi đơn vị sản phẩm là P, người bán chỉ nhận được sau khi trừ thuế là P - 5. Do đó, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} {P_0} = - {Q_0} + 125\\ {Q_0} - 5 = \frac{3}{2}{Q_0} + 15 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {P_0} + {Q_0} = 125\\ 2{P_0} - 3{Q_0} = 40 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {P_0} = 83\\ {Q_0} = 42 \end{array} \right.\)

Như vậy, với mức thuế 5 đồng/mồi đơn vị sản phẩm đã khiến cho giá cân bằng tăng lên từ 81 đồng thành 83 đồng và lượng cân băng giảm từ 44 đơn vị sản phẩm xuống còn 42 đơn vị sản phẩm. Từ đó, ta thấy: sau khi áp thuế, người mua phải trả thêm 2 đồng/mỗi đơn vị sản phẩm, phần còn lại do người bán phải chịu.

Giả sử có hai mặt hàng 1 và 2 trong thị trường có liên hệ nhau. Lượng cầu Q_D1, Q_D2 của mặt hàng 1 và măt hàng 2 phu thuộc vào cả hai giá P₁, P₂ của hai mặt hàng. Nếu các hàm cầu là tuyến tính, ta có : 

\({Q_{{D_1}}} = {a_1} + {b_1}{P_1} + {c_1}{P_2}\)

và  \({Q_{{D_2}}} = {a_2} + {b_2}{P_1} + {c_2}{P_2}\)

trong đó \({a_1},{b_1},{c_1}\,\,và\,\,{a_2},{b_2},{c_2}\) là các hằng số phụ thuộc vào mô hình. Trước tiên, ta có a₁ > 0 do có lương cầu Q_D1 > 0 khi P₁ = P₂ = 0. Tiếp đến, b₁ < 0 do Q_D1 giảm khi giá P₁ tăng. Dấu c₁ tùy thuộc vào mối liên hệ giữa hai mặt hàng. Nếu các mặt hàng “có thể thay thế lẫn nhau" thì khi tăng giá P₂ của mặt hàng 2 sẽ khiến người tiêu dùng đổi từ việc chọn mặt hàng 2 sang việc chon mặt hàng 1 và sẽ làm tăng lương cầu Q_D1 của mặt hàng 1. Khi đó c₁ > 0. Ngược lại, nếu các mặt hàng “phụ thuộc lẫn nhau” thì khi tăng giá P_D1 của mặt hàng 2 sẽ làm giảm lượng cầu Q_D2 của mặt hàng 2 và cũng khiến lương cầu Q_D1 của mặt hàng 1 giảm theo. Khi đó c₁ < 0

Ta cũng có kết quả tương tự về dấu của a₂, b₂, c₂

Ví dụ: Cho hàm cung, hàm cầu của hai mặt hàng như sau

\(\begin{array}{l} {Q_{{D_1}}} = 145 - 2{P_1} + {P_2}\,\,\,\,;\,\,{Q_{{S_1}}} = - 45 + {P_1}\\ {Q_{{D_2}}} = 30 + {P_1} - 2{P_2}\,\,\,\,;\,\,{Q_{{S_2}}} = - 40 + 5{P_2} \end{array}\)

a. Hãy xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của hai mặt hàng.

b. Các mặt hàng này là có thế thay thế lẫn nhau hay phụ thuộc nhau ?

Giải:

a. Tại điểm cân bằng thị trường, ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l} {Q_{{D_1}}} = \,\,{Q_{{S_1}}} = {Q_1}\\ {Q_{{D_2}}} = \,\,{Q_{{S_2}}} = {Q_2} \end{array} \right.\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} 145 - 2{P_1} + {P_2} = - 45 + {P_1}\\ 30 + {P_1} - 2{P_2} = - 40 + 5{P_2} \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} 3{P_1} - {P_2} = 190\\ - {P_1} + 7{P_2} = 70 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {P_1} = 70\\ {P_2} = 20 \end{array} \right.\)

Từ đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {Q_1} = 25\\ {Q_2} = 60 \end{array} \right.\)

b. Từ phương trình cầu của mặt hàng thứ nhất, ta thấy: khi giá P₂ của mặt hàng thứ hai tăng thì lượng cầu của mặt hàng thứ nhất tăng. Vậy, hai mặt hàng này là có thể thay thế nhau.

Ví dụ: Cho hàm cung, hàm cầu của ba mặt hàng như sau

\(\begin{array}{l} {Q_{{D_1}}} = 70 - {P_1} - 2{P_2} - 6{P_3}\,\,\,\,;\,\,\,{Q_{{S_1}}} = {P_1} - 4\\ {Q_{{D_2}}} = 76 - 3{P_1} - {P_2} - 4{P_3}\,\,\,\,;\,\,\,{Q_{{S_2}}} = {P_2} - 3\\ {Q_{{D_3}}} = 70 - 2{P_1} - 3{P_2} - 2{P_3}\,\,;\,\,\,{Q_{{S_3}}} = 3{P_3} - 6 \end{array}\)

a. Hãy xác định giá cân bang của ba mặt hàng.

b. Các mặt hàng này là có thể thay thế lẫn nhau hay phụ thuộc nhau ?

Giải:

Tại điểm cân bằng thị trường, ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l} {Q_{{D_1}}} = {Q_{{S_1}}} = {Q_1}\\ {Q_{{D_2}}} = {Q_{{S_2}}} = {Q_2}\\ {Q_{{D_3}}} = {Q_{{S_3}}} = {Q_3} \end{array} \right.\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} 70 - {P_1} - 2{P_2} - 6{P_3} = {P_1} - 4\\ 76 - 3{P_1} - {P_2} - 4{P_3} = {P_2} - 3\\ 70 - 2{P_1} - 3{P_2} - 2{P_3} = 3{P_3} - 6 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {P_1} + {P_2} + 3{P_3} = 37\\ 3{P_1} + 2{P_2} + 4{P_3} = 79\\ 2{P_1} + 3{P_2} + 5{P_3} = 76 \end{array} \right.\,\,(*)\)

Ta giải hệ phương trình (*) bằng phương pháp Cramer

Ta có: 

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&3\\ 3&2&4\\ 2&3&5 \end{array}} \right| = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{D_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {37}&1&3\\ {79}&2&4\\ {76}&3&5 \end{array}} \right| = 90\)

\({D_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{37}&3\\ 3&{79}&4\\ 2&{76}&5 \end{array}} \right| = 42\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{D_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{37}\\ 3&2&{79}\\ 2&3&{76} \end{array}} \right| = 30\)

Nghiệm của hệ (*) là:

\(\left\{ \begin{array}{l} {P_1} = \frac{{{D_1}}}{D} = 15\\ {P_2} = \frac{{{D_2}}}{D} = 7\\ {P_3} = \frac{{{D_3}}}{D} = 5 \end{array} \right.\)

Vậy, giá cân bằng là P₁ =15, P₂ = 7, P₃ = 5.

b. Từ hàm cầu Q_D1, ta thấy: khi giá P₂, P₃ tăng sẽ làm Q_D1 giảm. Do đó, các mặt hàng này là phụ thuộc nhau.