Bài 2: Vi phân - Khái niệm, định lý, qui tắc, đạo hàm

Định nghĩa: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x và y = f(x). Giả sử, ta có: 

\(\Delta y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A.\Delta x{\rm{ }} + {\rm{ }}\varepsilon \left( x \right).\Delta \left( x \right)\)

với \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0\) và A không phụ thuộc \(\Delta x\) thì ta nói \(A.\Delta x\) là vi phân của f tại x. Khi đó ta ký hiệu vi phân của hàm f tại x là \(dy{\rm{ }} = {\rm{ }}df\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A.\Delta x\). Nếu f có vi phân tại x, ta nói hàm số f khả vi tại x.

Định lý: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x và \(y = f(x)\). Ta có: f khả vi tại x ⇔ f có đạo hàm tại x.

Chứng minh:

\(( \Leftarrow )\) Giả sử f có đạo hàm tại x

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} - f'(x)} \right] = 0\)

\(\Rightarrow \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = f'(x).\Delta x + \varepsilon (x).\Delta (x)\)

với \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0 \Rightarrow f\) khả vi tại x.

(⇒) Đảo lại, nếu f khả vi tại x thì ta có:

\(\Delta y = A.\Delta x + \varepsilon (x).\Delta (x)\) với A độc lập với \(\Delta x\) và \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0\)

\(\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A + \varepsilon (x)\) với \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \varepsilon (x) = 0\)

suy ra \(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A\). Do đó, f có đạo hàm tại x.

Nhận xét:

• Từ định lý trên, ta có \(dy{\rm{ }} = {\rm{ }}f'\left( x \right).\Delta x\) là vi phân của hàm f tại x.

Khi y = x thì \(dy = dx = (x)'.\Delta x = 1.\Delta x = \Delta x\), nên ta viết \(dy = f'(x)dx\,\,hay\,\,\frac{{dy}}{{dx}} = f'(x)\)

• dy là giá trị gần đúng của \(\Delta y\) khi  tức là \(\Delta x \to 0\) tức là \(dy \approx \Delta y\) (khi \(\Delta x \to 0\))

Ví dụ: Cho \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}3\left( {{x^2}{\rm{ }} - 5x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}dy{\rm{ }} = {\rm{ }}3\left( {2x{\rm{ }} - 5} \right)dx\)

\(\Rightarrow y' = 3(2x - 5) = \frac{{dy}}{{dx}}\)

Tính gần đúng: Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở I chứa x sao cho \(x + \Delta x \in I\) và khả vi tại X. Ta có: \(f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta x.f'(x)\) khi \(\Delta x\) khá nhỏ

Ví dụ 1: Cho ln4 , tính gần đúng: \(ln4,001; ln4,002; ln4,005\).

Đặt \(f(x) = lnx \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow {\rm{ }}f\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}f'{\rm{ }}\left( x \right).\Delta x{\rm{ }} + {\rm{ }}o\left( {\Delta x} \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}ln\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}lnx{\rm{ }} \approx {\rm{ }}f'\left( x \right).\Delta x{\rm{ }}\left( {\Delta x{\rm{ }} \to 0} \right)\)

\(\Rightarrow {\rm{ }}ln\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta x} \right){\rm{ }} \approx {\rm{ }}lnx{\rm{ }} + {\rm{ }}f\left( x \right).\Delta x\) (khi \(\Delta x\) khá nhỏ)

\(ln(4,001) = ln(4 + 0,001)\)

\(\approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}.0,001{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,00025\)

\(ln\left( {4,002} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}ln\left( {4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,002} \right){\rm{ }} \approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}f\left( 4 \right).0,002\)

\(= {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}{\rm{ }}.0,002{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,0005\)

\(ln4,005{\rm{ }} \approx {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{1}{4}.0,005{\rm{ }} = {\rm{ }}ln4{\rm{ }} + {\rm{ }}0,00125{\rm{ }}\)

Ví dụ 2: Tính gần đúng \(sin 31°, sin 29°\)

\(sin{\rm{ }}{31^0} = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{180}}} \right) \approx \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + \frac{\pi }{{180}}.\cos \frac{\pi }{6}\)

\(sin{\rm{ 2}}{{\rm{9}}^0} = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{180}}} \right) \approx \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) - \frac{\pi }{{180}}.\cos \frac{\pi }{6}\)

Ví dụ 3: Tính gần đúng \(\sqrt[3]{{126}}\)

Xét \(f(x) = \sqrt[3]{x} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\)

Với x = 125 và h = 1, sử dụng công thức tính gần đúng \(f(x + h) \approx f(x) + h.f'(x)\)ta có:

\(\sqrt[3]{{126}} = \sqrt[3]{{125 + 1}} \approx \sqrt[3]{{125}} + 1.\frac{1}{{3\sqrt[3]{{{{125}^2}}}}} = 5 + \frac{1}{{75}}\)

Cho f, g là các hàm khả vi tại x

\(1)\,\,d(f \pm g)(x) = df(x) \pm dg(x)\)

\(2)\,\,d(kf)(x) = k.df(x)\)

\(3)\,\,d(f.g)(x) = df(x).g(x) + f(x).dg(x)\)

\(4)\,\,d\left( {\frac{f}{g}} \right)(x) = \frac{{g(x)df(x) - f(x)dg(x)}}{{{g^2}(x)}}\,\,\,(g(x) \ne 0)\)

Chứng minh:

Do tính chất đạo hàm và nếu y = f(x) khả vi tại x thì \(dy=df(x)=f'(x)dx\)

Ví dụ: \(h = \frac{f}{g}\) với f, g khả vi tại x ta có:

\(d\left( {\frac{f}{g}} \right)(x) = dh(x) = h'(x)dx = \left( {\frac{{f'g - g'f}}{{{g^2}}}} \right)(x)dx = \frac{{g(x)df(x) - f(x)dg(x)}}{{{g^2}(x)}}\)

Cho \(z = g(y)\) khả vi tại y, với y là biến độc lập.

Ta có: \(dz = g'(y)dy\)

Cho \(z = g(y)\) với y là hàm theo x và \(y = f(x)\) khả vi.

Ta có: \(z'(x) = z'({\rm{x}}) = \frac{{dz}}{{dx}}[g[f(x)]]' = g'[f(x)].f'(x)\)

\(\Rightarrow {\rm{ }}dz{\rm{ }} = {\rm{ }}g'\left[ {f(x} \right).f'\left( x \right)dx{\rm{ }} = {\rm{ }}g'\left[ {f\left( x \right)} \right].dy{\rm{ }} = {\rm{ }}g'(y).dy\)

Như vậy, biểu thức \(dz = g'(y).dy\) không thay đổi dù y là biến độc lập hay là hàm theo một biến khác.

Định nghĩa: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x₀.

Nếu \(\exists h > 0\) sao cho \(f(x) \le f({x_0}),\forall x \in ({x_0} - h,{x_0} + h) \cap I\) thì ta nói f đạt cực đại địa phương tại x₀.

Tương tự, f đạt cực tiểu địa phương tại x₀ nếu \(\exists h > 0\) sao cho \(f(x) \ge f({x_0}),\forall x \in ({x_0} - h,{x_0} + h) \cap I\)

Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.

Bổ đề Fermat: Cho f xác định trên khoảng mở (a,b). Nếu f đạt cực đại địa phương tại \({x_0} \in (a;b)\) và f'(x₀) tồn tại thì f(x₀) = 0.

Chứng minh: Vì f đạt cực đại tại x₀ nên

\(\exists h > 0:f(x) \le f({x_0}),\forall x \in ({x_0} - h,{x_0} + h) \subset (a,b)\)

Xét \(x \in (a,b)\) và \(x_0- h < x < x_0\), ta có:

\(\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \ge 0\)

Do f'(x₀) tồn tại nên \(f'({x_0}) = f'(x_0^ - ) = f'(x_0^ + )\)

\(f'({x_0}) = f'(x_0^ - ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \ge 0\)    (1)

Xét \(x_0ta có \(\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \le 0 \)

\(f'({x_0}) = f'(x_0^ - ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \ge 0\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow f'({x_0}) = 0\)

Ghi chú: Định lý được phát biểu tương tự khi x₀ là cực tiểu địa phương.

Ý nghĩa hình học của định lý Rolle

Nếu f khả vi trên (a,b) liên tục [a,b] và \(f(a) = f(b) \) thì \(C(c,f(c))\) trên cung AB với \(A(a,f(a)), B(b,f(b)) \) sao cho vectơ chỉ phương của tiếp tuyến tại C cùng phương với vectơ Ox (hoạc cùng phương với vectơ AB).

Định Iý Lagrange: (Định lý giá trị trung bình)

Nếu f liên tục trên [a,b], khả vi trên \((a,b) (a \ne b)\) thì

\(\exists c \in (a,b):f'(c) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\,\,(1)\)

\((1) \Leftrightarrow f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)\)

Chứng minh:

Nhận xét: \((1) \Leftrightarrow f'(c) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = 0\)

Để áp dụng định lý Rolle ta cần tìm hàm g sao cho

\(\left\{ \begin{array}{l} g'(c) = f'(c) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\\ g(a) = g(b) \end{array} \right. \)

Đặt \(g(x) = f(x) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}(x - a)\)

Ta có: g liên tục trên [a,b] khả vi trên (a,b) và \(g(a) = g(b)\)

Áp dụng định lý Rolle:

\(\Rightarrow \exists c \in (a,b):g'(c) = 0\)

Mà \(g'(c) = f'(c) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\)

\(\Rightarrow \exists c \in (a,b):f'(c) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = 0 \Rightarrow\)đpcm

Hệ quả: f liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và \(f'\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}\forall x{\rm{ }} \in {\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b} \right){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}f(x)\) là hàm hàng trên (a,b), nghĩa là f(x) = k (hằng), \(\forall x{\rm{ }} \in {\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b} \right)\)

Chứng minh:

Lấy x₁, x₂ bất kỳ \(\in (a, b)\). Giả sử x₁ < x₂.

Khi đó f liên tục trên \([{x_1},{x_2}]{\rm{ }} \subset {\rm{ }}\left( {a,b} \right)\) và khả vi trên (x₁,x₂)

Áp dụng Lagrange ta có:

\(f({x_2}) - f({x_1}) = f'(c)({x_2} - {x_1})\)với \(c \in ({x_1} , {x_2})\)

mà \(f'(c)=0\) (giả thiết)

\(\Rightarrow f({x_2}) - f({x_1}) = 0,\forall {x_1}{x_2} \in (a,b)\)

\( \Rightarrow f({x_2}) = f({x_1}),\forall {x_1}{x_2} \in (a,b)\)

 nghĩa là f là một hàm hàng trên (a, b).

Giả sử \(y = f(x)\) có đạo hàm \(y' = f'(x)\). Nếu hàm \(y' = f'(x)\) có đạo hàm thì \(y''=(y')'=(f'(x))=f''(x)\) được gọi là đạo hàm cấp 2 của f tại x.

Giả sử đạo hàm cấp n - 1 của f tồn tại và có đạo hàm tại x. Khi đó, đạo hàm của đạo hàm cấp n - 1 được gọi là đạo hàm cấp n: \({y^{(n)}} = {\rm{ }}({y^{(n - 1)}})'{\rm{ }} = ({f^{(n - 1)}}\left( x \right))'{\rm{ }} = {\rm{ }}{f^{(n)}}\left( x \right)\)

Ví dụ: \(y = (a - x)^n \)

Thì \({{\rm{y}}^{{\rm{(n)}}}}{\rm{ = ( - l}}{{\rm{)}}^{\rm{n}}}{\rm{n! }}\)

\({y^{\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)}}{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Qui tắc tính đạo hàm bậc cao

Giả sử f và g là các hàm số có đạo hàm đến cấp n tại n.

Khi đó:

\(i)\,\,{\left( {f \pm g} \right)^{(n)}}(x) = {f^{(n)}}(x) \pm {g^{(n)}}(x)\)

\(ii)\,\,{\left( {cf} \right)^{(n)}}(x) = c.{f^{(n)}}(x), \in R\)

\(iii)\,\,{\left( {fg} \right)^{(n)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{f^{(k)}}(x).{g^{(n - k)}}(x)}\)

Qui ước: \({f^{(0)}}(x) = f(x);\,0! = 1;\,\,C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\)

Chứng minh:

i) và ii) là hiển nhiên

iii) Chứng minh bàng qui nạp

Ví dụ:

i) \(f(x) = {e^{ax}},f'(x) = a{e^{ax}},f''(x) = {a^2}{e^{ax}},f'''(x) = {a^3}{e^{ax}},...,{f^{(n)}}(x) = {a^n}{e^{ax}}\)

ii) \(y = {(ax + b)^\alpha }\)

\(y' = a\alpha {(ax + b)^{\alpha - 1}}\)

\(y'' = {a^2}\alpha (\alpha - 1){(ax + b)^{\alpha - 2}}\)

\(y''' = {a^3}\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2){(ax + b)^{\alpha - 3}},...\)

Giả sử y = f(x) là hàm số xác định và khả vi tại mọi x thuộc khoảng mở I. Khi đó vi phân cấp một \(dy= f'(x)dx\) là một hàm theo x.

Nếu dy là hàm khả vi tại x thì biểu thức 

\({d^2}y{\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {dy} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}(f'\left( x \right){\rm{ }}dx)'dx{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)d{x^2} = f''(x)d{x^2}\)

 được gọi là vi phân cấp 2 của \(y = f(x)\).

Ghi chú:

i) Vi phân của vi phân cấp 1 là vi phân cấp 2.

ii) \(d^2y = d(dy)\) và \((dx)^2 = dx^2\) là qui ước (ký hiệu)

Giả sử f có vi phân cấp n - 1 và \(d^{n-1}f\) có vi phân, vi phân của vi phân cấp n - 1 được gọi là vi phân cấp n của \(f{d^n}y = d({d^{n - 1}}y) = \left[ {{f^{(n - 1)}}(x)d{x^{n - 1}}} \right]'dx = {f^{(n)}}(x)d{x^n}\) (x là biến độc lập)

\(\frac{{{d^n}y}}{{d{x^n}}} = {f^{(n)}}(x)\,\,(*)\)

Ghi chú: Thông thường, khi n > 1 thì công thức (*) không còn đúng nếu x không phải là biến độc lập (x là một hàm theo t).

Ví dụ: Cho \(y = f(x)\) là hàm khả vi và \(x = \varphi (t)\) là hàm khả vi. Ta có: \(dy{\rm{ }} = {\rm{ }}f'\left( x \right)dx{\rm{ }} = {\rm{ }}f'\left( {\varphi \left( t \right)} \right).\varphi '\left( t \right)dt\)

\(\Rightarrow {d^2}y = \left[ {f'(\varphi (t)).\varphi '(t)} \right]'d{t^2}\)

\(= \left[ {f''(\varphi (t)).\varphi '(t).\varphi '(t) + \varphi ''(t)f'(\varphi (t))} \right]d{t^2}\)

\(= f''(\varphi (t)).{\left[ {\varphi '(t)dt} \right]^2} + f'(\varphi (t)).\varphi ''(t)d{t^2}\)

\(= f''(x)d{x^2} + f'(x).{d^2}x\)

\(\Rightarrow y'' = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{f'(x){d^2}x}}{{d{x^2}}} + f''(x)\)

Nhân xét: Nếu x là biến độc lập thì \(dx = \Delta x\) (hàng số).

Khi đó \({d^2}x = (\Delta x)'dx = 0dx = 0\)

Ví dụ: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{x^5}{\rm{ }} - {\rm{ }}8{x^2}} \right)\) thì \(dy = (5x^4 - 16x)dx\)

Và \({d^2}y = (20{x^3} - 16)d{x^2};\,y'' = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 20{x^3} - 16\)