Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 2: Tích phân xác định sau đây để tìm hiểu về các phương pháp tính tích phân xác định, tích phân suy rộng.
Tóm tắt lý thuyết
5. Các phương pháp tính tích phân xác định
5.1 Phương pháp đổi biến số
a. Cho
Nếu
i)
ii)
iii) Khi t biến thiên trên
Khi đó, ta có
Chứng minh: Giả sử F là nguyên hàm của f trên [a,b]
Ta có:
(1) và (2) ⇒ đpcm
Ví dụ: Tính
Đặt
Suy ra
b. Cho f liên tục trên [a,b]. Nếu u = h(x) thỏa:
i) h khả vi đơn điệu trên [a, b]
ii) Khi x biến thiên trên [a, b] ta có
thì
Chứng minh: tương tự
Ví dụ:
Đặt
5.2 Tích phân từng phần
Cho
Ví dụ 1:
Đặt
Ví dụ 2:
i) Chứng minh
ii) Tính
Giải
i) Đặt
ii)
Đặt
Vậy
mà
Qui ước:
6. Tích phân suy rộng
Tích phân xác định
Trong phần này ta xét:
- Tích phân trên một khoảng vô hạn.
- Tích phân trên [a,b] và trên [a,b] có điểm gián đoạn vô cùng.
6.1 Tích phân trên môt khoảng vô hạn:
Cho hàm số f xác định trên
Định nghĩa:
i) Cho f xác định trên
ii) Tương tự, nếu hàm số f khả tích trên
iii) Cho f xác định trên
Ví dụ 1:
Vậy tích phân suy rộng trên là hội tụ
Ví dụ 2:
Vì
Ví dụ 3: Khảo sát sự hôi tụ của
(i)
(ii)
Tóm lại:
6.2 Tích phân trên [a, b] có điểm gián đoạn vô cực
Định nghĩa:
i) Nếu hàm số f khả tích trên
ii) Nếu hàm số f khả tích trên
iii) Nếu hàm số f khả tích trên
Ví dụ: Xét
Ta có:
6.3 Một số tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng
Ta chỉ xét trường hợp f xác định trên
- Đốì với tích phân
ta đổi biến và - Đối với tích phân ta đổi biến
ta đổi biến . Khi đó - Đối với tích phân
ta đổi biến . Khi đó
Định nghĩa:
i) Nếu
ii) Nếu
Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của
Nhắc lại:
Mà tích phân
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của
Cách 1:
Mà tích phân
Cách 2:
Ta có:
Ví dụ 3: Khảo sát sự hội tụ của
Tích phân
Ta có:
Đặt
Mà
Thảo luận về Bài viết