Bài 2: Tích phân xác định - Tích phân xác định, Tích phân suy rộng

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 2: Tích phân xác định  sau đây để tìm hiểu về các phương pháp tính tích phân xác định, tích phân suy rộng.

Tóm tắt lý thuyết

5. Các phương pháp tính tích phân xác định

5.1 Phương pháp đổi biến số

a. Cho abf(x)dx với f liên tục trên [a, b]

Nếu x=φ(t) thỏa:

i) φ khả vi liên tục trên [a, P]
ii)  φ(α)=a,φ(β)=b
iii) Khi t biến thiên trên [α,β] thì x biến thiên trên [a, b]

Khi đó, ta có abf(x)dx=αβf[φ(t)]φ(t)dt

Chứng minh: Giả sử F là nguyên hàm của f trên [a,b]

Ta có: abf(x)dx=F(b)F(a) (1)

αβf(φ(t))φ(t)dt=F[φ(t)]|βα=F(φ(β))F(φ(α))=F(b)F(a) (2)

(1) và (2) ⇒ đpcm

Ví dụ: Tính 224x2dx=2024x2dx

Đặt x=2sint,0tπ2dx=2costdtvà t=arcsinx2

x0=0t0=0,x1=2t1=π1

Suy ra 2024x2dx=20π244sin2t2costdt

=20π24cos2tdt=40π2(1+cos2t)dt=4[t+12sin2t]|π20=2π

b. Cho f liên tục trên [a,b]. Nếu u = h(x) thỏa:

i) h khả vi đơn điệu trên [a, b]
ii) Khi x biến thiên trên [a, b] ta có f(x)dx được viết dưới dạng g(u)du

thì abf(x)dx=h(a)h(b)g(u)du=abg(h(x))h(x)dx

Chứng minh: tương tự

Ví dụπ6π4cosxdx2+3sin2x

Đặt u=sinxdu=cosxdx

x0=π6u0=12x1=π4u1=sinπ4=12

π/6π/4cosxdx2+3sin2x=1/21/2du2+3u2=131/21/2du2/3+u2

=3213arctf32u|1212=16[32arctg322]

5.2 Tích phân từng phần

Cho u=u(x),v=v(x)là các hàm khả vi và có đạo hàm liên tục trên [a,b]. Khi đó abudv=uv|baabvdu

Ví dụ 1121xarctgxdx

Đặt 

u=arctgxdu=dx1+x2dv=xdx,chonv=12(x2+1)

121xarctgxdx=12(x2+1)arctgx|11212112dx=π4+58arctg1234

Ví dụ 2:

i) Chứng minh 0π2sinnxdx=0π2cosnxdx

ii) Tính 0π2sinnxdx

Giải

i) Đặt 

x=π2udx=du,u=π2xx0=0u0=π2,x1=π2u1=0

0π2sinnxdx=π20sinn(π2u)(du)=0π2cosnudu=0π2cosnxdx

ii) 0π2sinnxdx=0π2sinn1xsinxdx với nN,n2

Đặt u=sinn1xdu=(n1)cosx.sinn2xdx

dv=sinxdx chọn v=cosx

In=0π2sinnxdx=0π2sinn1xsinxdx

=cosxsinn1x|π20+(n1)0π2cos2xsinn2xdx

=(n1)0π2(1sin2x)sinn2xdx=(n1)In2(n1)In

nIn=(n1)In2In=n1nIn2=n1nn3n2In4=n1nn3n2n5n4In6....

Vậy

In={n1n.n3n2.n5n4....78.56.34.12I0(n=2k)n1n.n3n2.n5n4....89.67.45.23I1(n=2k+1)

mà I0=0π/2sin0xdx=π2;I1=0π/2sinxdx=cosx|π20=1

In={(2k1)!!(2k)!!π2(n=2k)(2k)!!(2k1)!!(n=2k+1)

Qui ước: 

(2k)!!=2.4.6.8....(2k2)(2k)(2k1)!!=1.3.5...(2k1)(2k+1)

6. Tích phân suy rộng

Tích phân xác định abf(x)dx đã xét ở trên với [a,b] hữu hạn và f liên tục trên [a,b] hoặc f có số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1 trên [a,b].

Trong phần này ta xét:

  • Tích phân trên một khoảng vô hạn.
  • Tích phân trên [a,b] và trên [a,b] có điểm gián đoạn vô cùng.

6.1 Tích phân trên môt khoảng vô hạn:

Cho hàm số f xác định trên [a,+) khả tích trên [a,b],ba . Khi đó tích phân xác định abf(x)dx là tồn tại ba

Định nghĩa:

i) Cho f xác định trên [a,+) khả tích trên [a,b],ba .Ta định nghĩa tích phân suy rộng của f trên [a,+) là:

a+f(x)dx=limb+abf(x)dx

ii) Tương tự, nếu hàm số f khả tích trên [c,a],ca, ta định nghĩa tích phân suy rộng của f trên (,a]

af(x)dx=limccaf(x)dx

iii) Cho f xác định trên (;+) và khả tích trên mọi khoảng đóng [a,b],ba .Ta định nghĩa tích phân suy rộng của f trên (;+)

+f(x)dx=af(x)dx+af(x)dx=limccaf(x)dx+limb+abf(x)dx

Ví dụ 1:

2+dx(x+3)(x+8)=limb+2bdx(x+3)(x+8)=limb+15ln|x+3x+8||b2=15ln2

Vậy tích phân suy rộng trên là hội tụ

Ví dụ 2:  +x4dxx10+1

Vì x4dxx10+1 là hàm chẵn nên

I=20+x4dxx10+1=2limb+0bx4dxx10+1=25limb+0b5du(u2+1)=25limb+[arctgu]|b50=π5(u=x5)

Ví dụ 3: Khảo sát sự hôi tụ của 1+duxα

(i) α=1

1+dux=limb+1dxdxx=limb+[lnx]|b1=+phân kỳ

(ii) α1

1+duxα=limb+1bxαdx=limb+11α[xα+1]|b1=11αlimb+(b1α1)={11α(α>1)+(α<1)

Tóm lại: 1+duxα hội tụ nếu α>1 và phân kỳ nếu α1

6.2 Tích phân trên [a, b] có điểm gián đoạn vô cực

Định nghĩa:

i) Nếu hàm số f khả tích trên [a+ε,b],ε>0limxa+|f(x)|=+, ta định nghĩa tích phân suy rộng của f trên [a,b] là 

abf(x)dx=limε0+a+εbf(x)dx=limxa+xbf(x)dx

ii) Nếu hàm số f khả tích trên [a,bε],ε>0 và limxb|f(x)|=+ ta định nghĩa tích phân suy rộng của f trên [a,b] là 

abf(x)dx=limε0+abεf(x)dx=limxbaxf(x)dx

iii) Nếu hàm số f khả tích trên [a,cε],ε>0,f khả tích trên [c+ε,b],ε>0 và limxc|f(x)|=+ , ta định nghĩa:

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx=limε0+acεf(x)dx+limε0+c+εbf(x)dx

Ví dụ: Xét 22dx4x2

Ta có: limx214x2=+;limx2+14x2=+

22dx4x2=20dx4x2+02dx4x2=limε0+2+ε0dx4x2+limε0+02εdx4x2

=limε0+arcsinx2|02+ε+limε0+arcsinx2|2+ε0=limε0+(arcsin2+ε2)+limε0+arcsin2ε2=(π2)+π2=π

6.3 Một số tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng

Ta chỉ xét trường hợp f xác định trên [a,+), khả tích trên [a,b],ba. Trường hợp (,a] hay trường hợp [a,b] (với  limxa+|f(x)|=+haylimxb|f(x)|=+) được xét bằng cách đưa về dạng a+f(x)dx

  • Đốì với tích phân +bf(x)dx ta đổi biến u=x,du=dxvà bf(x)dx=limaabf(x)dx=limaabf(u)(du)=limc+bcg(u)du=b+g(u)du
  • Đối với tích phân  ta đổi biến abf(x)dx,limxa+|f(x)|=+ ta đổi biến u=1xa. Khi đó abf(x)dx=limε0+a+εbf(x)dx=limε0+1ε1ba(a+1u)(duu2)=1ba+g(u)du
  • Đối với tích phân abf(x)dx,limxb|f(x)|=+ ta đổi biến u=1bx. Khi đó abf(x)dx=limε0+abεf(x)dx=limε0+1ba1ε(b1u)(duu2)=1ba+g(u)du

Định nghĩa:

i) Nếu a+|f(x)|dx hội tụ, ta có a+f(x)dx hội tụ tuyệt đối.

ii) Nếu a+f(x)dx hội tụ nhưng a+|f(x)|dx không hội tụ ta nói a+f(x)dx hội tụ không tuyệt đối, hay bán hội tụ.

Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của 1+dx1+x31+x53

Nhắc lại: 1+dxxα hội tụ khi α>1, phân kỳ khi α1,x1 ta có: x1+x31+x53xx32x53=1x136

Mà tích phân 1+dxx136 hội tụ (vì α=13/6>1) suy ra 1+xdx1+x31+x53 hội tụ.

Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của 1+(x+5)dxx31+x3

Cách 1x1, ta có

(x+5)x31+x3xx13x3+x3=x2x13x32=12x56

Mà tích phân 1+dx2x56 phân kỳ (vì α=5/6<1) suy ra 1+(x+5)dxx31+x3 phân kỳ

Cách 2: 

Ta có: limx+(x+5)x31+x31/x56=1

1+(x+5)x31+x3và 1+dxx56 cùng bản chất.

Ví dụ 3: Khảo sát sự hội tụ của 0+sinx2dx

Tích phân 0+sinx2 cùng bản chất với π2+sinx2dx

Ta có: π2+sinx2dx=limb+π2bsinx2dx=limb+π2b2sint2tdt

Đặt u=12tdu=14t32dt;dv=sintdtchọn v=cost

I=limb+12tcost|bπ2limb+π2bcostdt4t32=π2+costdt4t32

Mà |costdt4t32|14t32 và π2+14t32dt hội tụ (α=3/2>1)

π2+|costdt4t32|dt hội tụ π2+costdt4t32dt hội tụ 0+sinx2dx hội tụ.

 

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?