Bài 2: Tập hợp

Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không có định nghĩa. Tập hợp ký hiệu là A, B,... Nếu x là phần tử của tập hợp A ta viết \(x \in A\). Ngược lại, ta viết \(x \notin A\). Tập \(\emptyset \) là tập không có chứa phần từ nào. Ta có thể biểu diễn một tập hợp A bằng cách nêu tính chất đặc trưng của các phần tử của A, hoặc liệt kê tất cả các phần tử của A, hoặc dùng giản đồ Venn.

Ví dụ:

• A là tập hợp tất cả các sinh viên khóa 35 của trường ĐH Kinh tế TP.HCM.
• N là tập hợp tất cả các số nguyên dương: N = {1, 2,3,... }
• Z là tập hợp tất cả các sổ nguyên: Z = {o,±l,±2,...}
• Q là tập hợp tất cả các số hữu tỷ: \(Q = \left\{ {\frac{m}{n}:m \in ,n \in N*} \right\}\)
• R là tập hợp tất cả các sổ thực.
• \(C = \left\{ {a + ib/a,b \in R,{i^2} = - 1} \right\}\) là tập hợp tất cả các số phức.
• \(A = \left\{ {x \in N/3 < x \le 7} \right\} = \left\{ {4,5,6,7} \right\}\\ \)
• \(A = \left\{ {x \in R/{x^2} + 1 = 0} \right\} = \emptyset \)
•  Giản đồ Venn

\(A \cap B = \left\{ {x/x \in A \wedge x \in B} \right\}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} (i)\,\,A \cap \emptyset = \emptyset \\ (ii)\,A \cap A = A\\ (iii)\,A \cap B = B \cap A\\ (iv)\,(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \end{array}\)

Ví dụ:

A là tập những sinh viên biết tiếng Anh

B là tập những sinh viên biết tiếng Pháp

\(A \cap B\) là tập những sinh viên biết tiếng Anh và tiếng Pháp

\(A \cup B = \left\{ {x/x \in A \vee x \in B} \right\}\)

Ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}} {(i){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A \cup \emptyset = A}\\ {(ii){\mkern 1mu} A \cup A = A}\\ {(iii){\mkern 1mu} A \cup B = B \cup A}\\ {(iv){\mkern 1mu} (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)} \end{array}\)

Ví dụ:

A là tập hợp những độc giả của báo Tuổi trê

B là tập hợp những độc giả của báo Thanh niên.

\(A \cup B\) là tập hợp những độc giả của báo Tuổi trẻ hay báo Thanh niên.

Tính chất:\(\begin{array}{l} (i)\,A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\\ (ii)\,A \cap (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{array}\)

A gọi là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Ký hiệu \(A \subset B\), đọc là A chứa trong B (hoặc B chứa A). Nếu A là tập con của B và có ít nhất một phần tử của B không là phân tử của A, ta nói A là tập con thật sự của B, ký hiệu A \(A \subseteq B\) B.

Ví dụ: \(N \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R \subseteq C\)

Hai tập hợp A, B gọi là bằng nhau nếu mọi phân tử của A cũng là phần tử của B và ngược lại. Ký hiệu A = B.

Ví dụ: \(\left\{ {x \in Z/x > 0} \right\} = N\)

Tùy tình huống đang xét, ta có tập U gồm tất cả các phần tử đề cập đến trong tình huống đó gọi là tập vũ trụ. Cho \(A \subset C\). Phần bù của A , ký hiệu \({A^C}\) hay \(C_U^A\), là tập hợp được xác định như sau

\({A^C} = \left\{ {x/x \in U \wedge x \notin A} \right\}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l} (i)\,\,{({A^C})^C} = A\\ (ii)\,\,{(A \cap B)^C} = {A^C} \cup {B^C}\\ (iii)\,{(A \cup B)^C} = {A^C} \cap {B^C} \end{array}\)

Ví dụ:

\(\left\{ {x/{x^2} + 5x - 6 \ne 0} \right\} = \left\{ {x/x \in R \wedge (x \ne 1 \wedge x \ne - 6} \right\}U\) ở đây là R.

U: tập hợp tất cả các sinh viên khóa 35 của trường ĐH Kinh tế TPHCM. A : tập hợp tất cả các sinh viên lóp 15 khóa 35. Khi đó \({A^C}\) là tập hợp các sinh viên khóa 35, không phải sinh viên lớp 15.

\({Q^C}\): tập hợp những số vô tỷ. Ta có \(\sqrt 2 ,\pi ,e \in {Q^C}\)

Chú ý: Tất cả các tính chất của tập hợp nều ở phần trên đều có thể chứng minh nhờ các tính chất tương ứng của mệnh đề.

Ví dụ: Chứng minh \({(A \cap B)^C} = {A^C} \cup {B^C}\) 

Ta có:\(\begin{array}{l} \forall x,x \in {(A \cap B)^C} \Leftrightarrow x \notin (A \cap B) \Leftrightarrow \sim (x \in A \cap B)\\ \Leftrightarrow \, \sim (x \in A \wedge x \in B) \Leftrightarrow x \notin A \vee x \notin B\\ \Leftrightarrow x \in {A^C} \vee x \in {B^C} \Leftrightarrow x \in {A^C} \cup {B^C} \end{array}\)

Cho 2 tập hợp A và B, hiệu của A và B (ký hiệu là A \ B) là tập hợp xác định như sau: \(A\backslash B = \left\{ {x/x \in A \wedge x \notin B} \right\}\)

Tacó:

\(\begin{array}{l} (i)\,A\backslash B = A \cap {B^C}\\ (ii)\,A\backslash (B \cap C) = (A\backslash B) \cup (A\backslash C)\\ (iii)\,A\backslash (B \cup C) = (A\backslash B) \cap (A\backslash C) \end{array}\)

 

Tập hợp A được gọi là hữu hạn nếu số phần tử trong A là một số nguyên không âm. Số phần tử trong A được ký hiệu là n(A) hoặc card(A).

Ví dụ:

\(\begin{array}{l} n(\emptyset ) = 0\\ n\left( {\left\{ {1,2,3} \right\}} \right) = 3 \end{array}\)

N, Z, Q, R, C: không phải là tập hữu hạn.

Cho A, B, C là tập các hữu hạn. Ta có: 

\(\begin{array}{l} n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\\ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C) \end{array}\)

Chú ý:

• Nếu A\( \cap \)B = \(\emptyset \) thì n(A \(\cup\) B) = n(A) + n(B)
• Nếu A\(\cap\)B = \(\emptyset \),A\(\cap\)C = \(\emptyset \),C\(\cap\)B = \(\emptyset \) thì n(A \(\cup\) B \(\cup\) C) = n(A) + n(B) + n(C)

Ví dụ 1: Người ta phát ra 1000 phiếu thăm dò về việc mua báo ngày ở TP.HCM. Kết quả nhận được: 800 người mua báo Tuổi trẻ, 500 người mua báo Tuổi trẻ và báo Thanh niên, và mọi người đều mua báo Tuổi trẻ hoặc Thanh niên. Hỏi có bao nhiêu người chỉ mua báo Tuổi trẻ, bao nhiêu người chỉ mua báo Thanh niên?

Giải

Gọi

A là tập hợp những người mua báo Tuổi trê.Giải:

B là tập hợp những người mua báo Thanh niên.

Dùng giản đồ Venn ta có: 

Vậy, số người chì mua báo Tuổi trẻ là 300

số người chi mua báo Thanh niên là 200

Ta cũng có kết quả tiên bằng cách dùng công thức số phần tử như sau:

\(\begin{array}{l} n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\\ \Leftrightarrow 1000 = 800 + n(B) - 500\\ \Leftrightarrow n(B) = 700 \end{array}\)

Suy ra: 

\(\begin{array}{l} n\left[ {(A \cup B)\backslash B} \right] = 1000 - 700 = 300\\ n\left[ {(A \cup B)\backslash A} \right] = 1000 - 800 = 200 \end{array}\)

Ví dụ 2: Trong một lớp học ở trường ĐH Kinh tế TP.HCM có 200 sinh viên. Trong đó có 150 sinh viên biết tiếng Anh, 70 sinh viên biết tiếng Pháp, và tất cả sinh viên biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Hỏi có bao nhiêu sinh viên biết cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp, bao nhiêu sinh viên chỉ biết tiếng Anh, bao nhiêu sinh viên chỉ biết tiếng Pháp?

Giải:

Gọi A là tập hợp những sinh viên biết tiếng Anh.

Gọi B là tập hợp những sinh viên biết tiếng Pháp.

Dùng giản đồ Venn, ta có :

Vậy,

số sinh viên biết cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp là 20

số sinh viên chỉ biết tiếng Anh là 130

số sinh viên chỉ biết tiếng Pháp là 50

Cách khác:

\(\begin{array}{l} n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\\ \Leftrightarrow 200 = 150 + 70 - n(A \cap B)\\ \Leftrightarrow n(A \cap B) = 20 \end{array}\)

Suy ra:

\(\begin{array}{l} n(A\backslash B) = 150 - 20 = 130\\ n(B\backslash A) = 70 - 20 = 50 \end{array}\)

Ví dụ 3: Người ta thăm dò khách hàng tại một siêu thị. Kết quả như sau:

5 người mua chuối, bưởi và xoài,

8 người mua chuối và xoài,

14 người mua bưởi và xoài,

10 người mua chuối và bưởi,

21 người mua chuối,

21 người mua bưởi,

21 người mua xoài.

Hỏi có bao nhiêu khách hàng mua ít nhất 1 trong 3 loại trái cây nói trên, bao nhiêu khách hàng chỉ mua 1 trong 3 loại trái cây nói trên, bao nhiêu người chỉ mua chuối, bao nhiêu người chỉ mua bưởi, bao nhiêu người chỉ mua xoài ?

Giải:

Gọi C, B, X lần lượt là tập hợp khách hàng mua chuối, bưởi, xoài.

Dùng gian đồ Venn, ta có :

Suy ra đáp số lần lượt là: 36, 14, 8, 2, 4

Cách khác, ta có:

\(\begin{array}{l} n(C \cup B \cup X) = n(C) + n(B) + n(X) - n(C \cap B) - n(X \cap B) - n(C \cap X) + n(C \cap X \cap B)\\ = 21 + 21 + 21 - 10 - 14 - 8 + 5 = 36 \end{array}\)

Gọi

C' là tập hợp khách hàng chỉ mua chuối.

B' là tập hợp khách hàng chỉ mua bưởi.

X' là tập hợp khách hàng chỉ mua xoài.

CB là tập hợp khách hàng mua đúng hai loại chuối và bưởi

BX là tập hợp khách hàng mua đúng hai loại bưởi và xoài.

XC là tập hợp khách hàng mua đúng hai loại xoài và chuối.

CBX là tập hợp khách hàng mua cả 3 loại.

Ta có :

\(\begin{array}{l} (C \cap B) = (CB) \cup (CBX)\\ \Rightarrow n(C \cap B) = n(CB) + n(CBX) - n{\rm{[}}(CB) \cap (CBX){\rm{]}}\\ \Rightarrow 10 = n(CB) + 5 - 0 \Rightarrow n(CX) = 5 \end{array}\)

Tương tự, ta có: \(n(BX) = 9,n(CX) = 3\)

 (Lưu ý C', CB, CX, CBX rời nhau nên các phần giao có số phần tử bằng 0)

Tương tự: \(n(B') = 2,n(X') = 4\)

Vậy số khách hàng chi mua một loại là: \(n(A' \cup B' \cup C') = 14\)